Теоретические вопросы двухэтапной векторной оптимизации

• Автор: Поспелова, Ирина Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 с.

Глава 1. Неопределенность в многокритериальной

оптимизации

§1. Векторная оптимизация

§2. Векторная оптимизация в условиях объективной

неопределенности

§3. Оптимумы точечно-множественных отображений

§4. Определение многокритериального максиминимакса

Глава 2. Обратная логическая свертка в задаче поиска

векторного максиминимакса

§1. Параметризация слейтеровского значения многокритериального максминимакса с помощью ОЛС

§2. Параметризация с помощью обратной логической свертки в

нерегулярном случае
§3. Аппроксимационные свойства ОЛС
§4. Задача повышения живучести многопродуктовых сетей
Заключение
Список литературы

Задачи принятия решений с многими критериями возникают в исследовании операций при моделировании сложных систем, эффективность функционирования которых не удается заранее описать одним показателем. Но кроме этого, функционирование сложных систем, как правило, происходит в условиях объективной неопределенности — незнания ряда внешних факторов, влияющих на эффективность [56, 12,15, 28, 48, 10, 13, 26]. Для того чтобы получить в таких условиях наилучшие гарантированные оценки эффективности, ставят минимаксные или максиминные задачи векторной оптимизации [41, 19, 63, 20, 6]. Множество, определяющее гарантированное значение соответствующего векторного мини-макса или максимина, характеризует живучесть исследуемой системы (при адекватной корректировке формальных определений).
Принятие управляющих решений в сложных системах в условиях неопределенности зачастую оказывается двухэтапным. Ряд параметров приходится фиксировать a priori — до поступления информации о значениях неопределенных факторов, а часть (корректирующее управление) можно выбрать потом. И те, и другие суть стратегии оперирующей стороны. Предположив, что оперирующая сторона интересуется максимизацией векторного критерия, придем к задаче на векторный макси-минимакс и к проблеме формализации ее решения на основе принципа наилучшего гарантированного результата [67, 68].
Задачи такого типа возникают, в частности, при исследовании живучести сетевых систем и при синтезе многоиродуктовых сетей по критерию живучести. Действительно, качество функционирования многопользовательской сетевой системы определяется мультипотоком — вектором г одновременно пропускаемых по сети потоков заявок пользователей (тяготеющих пар, или видов продуктов). С целью повышения качества функционирования сети с заданным вектором и пропускной способности ребер ставят задачу векторной максимизации 2 [32]. При исследовании живучести сетевой системы учитывается, что исходный

вектор и пропускной способности может неконтролируемо уменьшаться в известных пределах. Обозначим результирующий вектор через w. Тогда гарантированная оценка качества функционирования сети определяется (см. [5]) как гарантированное значение векторного минимакса
Min Мах z.
w£V(u) z£Z(w)
Этот минимакс зависит от и, и в предположении, что и 6 U выбирается с целью повышения живучести, приходим к проблеме максимизации векторного минимакса, т.е. к поиску
Мах Min Мах г.
ucU tuglTfu) z£Z(w)
Ограничения и целевая функция для сетевых систем линейны, а в общем случае получаем задачу поиска векторного максиминимакса
Мах Min Мах Ф(г/ш,и) (1)
u€U wGW(u) zGZ(w)
со связными ограничениями. (Для упрощения изложения опускаем зависимость Z от и.) В случае единственного критерия гарантированный подход в двухэтапной максимизации приводит к скалярной задаче на максиминимакс, рассмотренной, в частности, в [50, 14, 60]. Скалярные минимаксные задачи со связными ограничениями исследовались, например, в [36, 21].
Мы видим несколько возможных способов определения значения векторного максиминимакса: последовательное применение операций Мах, Min, Мах к объединению соответствующих множеств, аналогично [19, 20]; применение Мах к значению векторного минимакса, подробно изученного в [4]; обобщение понятия векторного максимина [41] на случай точечно-множественных отображений и применение полученного определения к множеству Мах Ф(г,ю,и).
zCZ(w)
В Главе 1 будет описан каждый из этих способов. В § 1.1 даны основные определения и рассмотрены особенности векторной оптимизации. В § 1.2 проведено сравнительное исследование минимаксных задач вексты. По-видимому, интерпретация в качестве решения игры возможна лишь для общей точки, если она имеется, всех четырех пересечений /<П*>, />П/Ч, />ЛТ>, /<п^< (или, что то же самое, у трех из (19)), т.е. если />П^<П/<П^> ф 0- Заметим, что в скалярном случае существование такой точки следует из непустоты хотя бы одного из пересечений. А в векторном случае для этого необходимо выполнение условий теоремы .3 для минимакса Л ф 0) и аналогичных условий для максимина (/<Л/> ф 0), причем все покомпонентные мак-симины должны равняться соответствующим минимаксам (в силу того, что (/< Л /> ф 0)Л(Т<ЛТ> ф 0))- Тем самым, = /< и = />. Это еще раз подчеркивает различие скалярных и векторных минимаксных задач и говорит о трудности принятия решений (даже одноэтапного) в условиях неопределенности для многокритериального подхода.
•50