Абсолютная устойчивость систем управления с монотонными по выходу нестационарными нелинейностями

• Автор: Альтшуллер, Дмитрий
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 94 с. : ил.

I. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

§1.1. Классическая задача абсолютной устойчивости

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Применение частотной теоремы

1.1.3. Системы с монотонными нелинейностями

§1.2. Формулировка задачи абсолютной устойчивости

§1.3. Частотное условие и квадратичный критерий абсолютной устойчивости

II. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕПРЕДЛОЖЕНИЯ

§2.1. Интегральные квадратичные связи с запаздыванием

§2.2. Интегральные неравенства

§2.3. Секторное условие и функции класса 3г

§2.4. Устойчивость ограниченных процессов
III. МНОЖИТЕЛИ УСТОЙЧИВОСТИ
§3.1. Вводные замечания
§3.2. Системы с нестационарными нелинейностями
3.2.1. Формулировки результатов
3.2.2. Доказательства Теорем 3.2.1-3.2
§3.3. Системы со стационарными нелинейностями
3.3.1. Формулировки результатов
3.3.2. Доказательства теорем 3.3.1 -3.3
3.3.3. Сравнение с критериями Зэймса-Фалба, Н.Е. Барабанова и следствиями из них
§3.4. Методы проверки частотных условий
3.4.1. Множители устойчивости и линейные матричные неравенства
3.4.2. Графические критерии
IV. СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПО ВРЕМЕНИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
§4.1 . Вводные предложения
§4.2 . Линейные системы с периодическими коэффициентами
§4.3 . Расширение класса линейных систем
§4.4 . Системы с квазимонотонными нелинейностями
4.4.1. Вспомогательные предложения
4.4.2. Критерии устойчивости для квазимонотонных периодических по времени нелинейностей
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Проблема абсолютной устойчивости нелинейных систем имеет уже полувековую историю. Несмотря на это, она не теряет своей актуальности. Напротив, «в последние годы интерес к этой тематике возрождается ..., поскольку новые задачи робастности и устойчивости неопределенных систем являются по существу перефразировками старых задач об абсолютной устойчивости» [50].
Кратко говоря, изучаемая система состоит из линейного блока, для которого известна передаточная функция, и нелинейного блока, о котором отсутствует детальная информация, но известны некоторые свойства. Требуется найти условия устойчивости системы в терминах передаточной функции (или частотной характеристики) линейного блока.
Многие работы по этой теме рассматривают только случай, когда нелинейный блок не зависит явно от времени. Результаты представляются в терминах либо частотных характеристик либо, как стало «модно» в последние годы, линейных матричных неравенств (ЛМН). Лемма Калмаиа - Якубовича позволяет во многих случаях преобразовать ЛМН к условиям в частотной форме и обратно. ЛМН можно решить численными методами. Частотные критерии более удобны для графической проверки.
Главная цель настоящей работы состоит в расширении известных результатов па случай нестационарных нелинейных блоков. Результаты будут представлены в терминах частотных характеристик. Частными случаями рассматриваемой задачи являются системы с периодической зависимостью от времени, а также стационарные системы. Результаты как для стационарных, так и для нестационарных систем доказывются единым методом.
Первая глава носит вводный характер. В ней дается краткий исторический обзор проблемы. Особое внимание уделяется классической частотной теореме Калмана - Якубовича и множителям устойчивости Зэймса - Фалба. После исторического обзора дается современная формулировка задачи. Линейный блок представляется в виде свертки. Нелинейный блок описывается при помощи интегральных квадратичных неравенств в частотной области. Все результаты основаны на квадратичном критерии абсолютной устойчивости В.А. Якубовича.
Во второй главе формулируются и доказываются вспомогательные предложения. Вводятся интегральные квадратичные неравенства во временной области с запаздыванием. Доказывается специальная форма квадратичного критерия для таких систем. Вводится понятие функций класса ях. Этот класс включает в себя в качестве частного случая периодические по времени функции. Доказывается, что все эти функции удовлетворяют некоторым интегральным квадратичным неравенствам.

В заключительном праграфе второй главы формулируртся и доказывается теорема об устойчивости ограниченных процессов. Она используются в дальнейшем для проверки одного из условий квадратичного критерия - минимальной устойчивости.
Третья глава содержит основные результаты диссертации. Предполагается, что нелинейности удовлетворяют так называемому секторному условию и принадлежат к классу Лт. Формулируются и доказываются частотные критерии абсолютной устойчовости. Доказательство проводится единым методом как для стационарных, так и для нестационарных нелинейностей.
В заключительном параграфе третьей главы рассматриваются методы проверки частотных условий. Дается краткое описание метода линейных матричных неравенств. Большее внимание уделяется графическим методам. Доказывается, что графические критерии, ранее известные только для стационарных систем, применимы с небольшими изменениями к периодическим по времени нелинейным блокам
В четвертой главе рассматриваются периодические по времени системы, необязательно удовлетворяющие секторному условию. Оказывается возможным распространить на периодические по времени нелинейности несколько результатов, известных для стационарных систем. Устанавливаются новые результаты для линейных систем с периодическими коэффициентами, систем с нелинейностями из некоторого параметрического класса и для систем с квазимонотонными нелинейностями (понятие квазимонтонности вводится и объясняется).

Перейдем к построению частотного условия теоремы 3.2.4. Нечетность функции ф(о, /) относительно переменной о позволяет применить неравенство (2.3.13) и написать для устойчивых процессов еще одну квадратичную связь
|^3(г(/),2«-т))Л>0, (3.2.39)

где^(г,гт) = (4 + У(ст-ц-^).
Частотное преобразование связи (3.2.39) имеет вид
^(£,/со) = -|||211е{[ц-1 + И'(1Сй)][1 +е-''“Ч}.
Поэтому частотное условие принимает следующий вид: существует положительная постоянная 0О и неубывающие функции 0,(т) и 02(т), постоянные на каждом интервале,
составляющем множество Т, такие что |”^0,(т) < 00> |0 < 00 и справедливо
неравенство
Ке{+ Ж(/со)]2(/ш)} »0, (3.2.40)

Ге-«“^0,(т)-Ге-'“^02(т)
2(/со) = 1-^
Повторив дословно рассуждения, следующие за уравнением (3.2.33), получим частотное условие теоремы 3.2.4.
3.2.2.4. Проверка минимальной устойчивости. Завершение доказательств. Для проверки минимальной устойчивости будем использовать теорему
2.4.1. Для этого построим ограниченные продолжения процессов следующим образом.
Пусть :(■) - произвольный процесс. Рассмотрим произвольную последовательность Положим
Ф(ст, I) |с| £ тк ф*(<*, О = ■ ф(тк,1) о > тк ф{-тк, /) а<-тк
(3.2.41)