Сильные равновесия в некоторых классах динамических игр

• Автор: Зятчин, Андрей Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 109 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Позиционное сильное равновесие в дифференциальной игре

§1.1 Определение позиционного сильного равновесия

§ 1.2 Позиционное сильное равновесие в дифференциальной игре

с линейной динамикой

Глава 2. Позиционное сильное равновесие в

стохастической дифференциальной игре

§2.1 Достаточные условия существования позиционного сильного равновесия в стохастической дифференциальной игре . 49 § 2.2 Позиционное сильное равновесие в симметричной

стохастической дифференциальной игре

Глава 3. Построение парето-оптимального равновесия в динамической модели защиты атмосферы от загрязнения
§3.1 Постановка задачи
§ 3.2 Равновесие по Нэшу в статической модели
§3.3 Парето-оптимальное решение модели
§ 3.4 Обсуждение результатов моделирования
§ 3.5 Динамическая модель охраны атмосферы от загрязнения .. 89 Литература

Введение
Актуальность темы. Теория динамических игр представляет собой бурно развивающийся в настоящее время раздел математической теории игр, которая ведет свой отсчет как самостоятельное научное направление с момента выхода книги Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» [38, 119]. Формирование отечественных научных школ по теории игр связано прежде всего с именами H.H. Воробьева и Ю.Б. Гермейера [5-7]. Актуальность теоретических и прикладных результатов, получаемых в области динамических игр, в первую очередь обусловлена реалистичностью исследуемых в этом разделе математических моделей, поскольку главной особенностью динамических игр является возможность построения математических моделей конфликтов, развивающихся во времени. В частности, в дифференциальных играх изучается класс конфликтно-управляемых процессов, в которых изменение состояния игры описывается системой дифференциальных уравнений на временном промежутке заданной продолжительности [25-27].
Определение класса стратегий, в котором ищется решение дифференциальной игры, зависит от предположений относительно информационной структуры конфликтного процесса. Будем различать два класса стратегий: программные и позиционные.
Программные стратегии зависят от начального состояния и являются

функциями времени. Равновесие в программных стратегиях в неантаго-нистическон игре исследовалось, например, в книге [68].
Позиционные стратегии зависят от времени и наблюдаемого в этот момент состояния игры [29]. Впервые проблема построения позиционного равновесия в дифференциальной игре исследована в работе [65]. Вопрос совпадения множеств равновесии в программных и позиционных стратегиях исследован в работах [91, 121].
В теории дифференциальных игр ее приложениях важным вопросом является построение позиционных сильных равновесий. В настоящее время известно несколько определений сильного равновесия [9, 37, 46, 62, 84, 106]. В диссертационной работе, в частности, исследовались сильное равновесие в широком [37] и узком [9, 46] смыслах. При этом в каждом случае под сильным равновесием понимается ситуация, в определенном смысле устойчивая относительно коалиционных отклонений игроков. Этот принцип оптимальности исследован для классов игр в нормальной и развернутой формах (см., например, [37, 49. 50, 57, 84]). Уникальность сильного равновесия состоит в том, что оно является одновременно равновесием по Нэшу и парето-оптимальным решением, т.е. удовлетворяет свойствам коллективной и индивидуальной рациональности игроков [10, 40, 54]. Основным недостатком применения концепции сильного равновесия в статике является то, что оно крайне редко встречается даже в классе игр двух лиц [37, 39, 88, 117].
В теории динамических игр при попытках нахождения сильных равновесий часто используются народные теоремы, что позволяет в некоторых случаях построить такое решение в стратегиях наказания [9, 50, 61, 81, 83, 84]. Недостатками этого подхода является необходимость согла-

ж(*0) = .т0.
Для уравнения (1.2.26) выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши, если справедливы условия (1.2.25). Рассмотрим теперь коалицию У = {1.2} и вектор
А^'°] =
при условии, что игрок 3 выбрал стратегию
Поскольку ?о 6 У, из определения вектора А[п,г°1 следует, что Аз"’г°' = 0. Для коалиции 5 уравнение (1.1.6) принимает вид:
15](£,ж)+
+ шах { ( ах + Ъи + Ъ2и2 + ^е{а+~*+^+~*}^т ^ ж)+
(111,112) ( 2 2 у
+ (-А^1 + л'"’'“1) и + (-л'”41 - Л^«]) и%+ (1.2.27)
+ (л'”’2»1 - А^1) щх + (л'"’'«1 + Л'”1'“1) щх - ^Х[^]х2+
+А(пД!гМ(£) + А^М21^) - (а^°] + А^”1) ^е2{“+^+^+^}(т_*)| = 0,
УИ(Т, х[8](Т)) = (а^ + А^“1) ж^(Т).
Вычислим максимум в левой части уравнения (1.2.27). Значения управлений, на которых достигается максимум, получаем из условий первого порядка:
х) +2 (—А^»1 + А^«1) ф2(Ь, х) + (Л^ - А'"’2'“1) ж = 0,
Ь2УР(1, х) + 2 (—А^“1 - А^°]) ф1Ь, х) + (а^°] + А^“1) ж = 0.