Реализуемость решений многошаговых кооперативных игр

• Автор: Дементьева, Мария Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 118 с. : ил

Введение
Актуальность проблемы. Основным предметом изучения в диссертационной работе являются динамические кооперативные игры, впервые рассмотренные Л.А.Петросяном [10, 13, 14]. Различным аспектам теории динамических кооперативных игр посвящены работы [6, 9, 15, 16, 18, 21, 22, 41, 33, 42, 53].
Теория динамических кооперативных игр отличается множественностью принципов оптимальности, привнесенных из классической теории игр с трансферабельной полезностью [5, 19, 24, 26, 30, 46, 47, 49]. Так же, как и в теории неантагонистических дифференциальных игр, использование принципов оптимальности из статической теории приводит к противоречиям, возникающим из-за потери динамической устойчивости выбранного решения. Впервые это было замечено в [10, 11]. Динамическая устойчивость решения означает, что любой отрезок оптимальной траектории определяет оптимальное движение относительно соответствующих начальных состояний. Отсутствие динамической устойчивости приводит к возможности отказа от ранее принятого плана действий в некоторый текущий момент. В связи со сказанным при исследовании динамических кооперативных игр важное значение имеет построение динамически устойчивых решений. В работе [50] был представлен принцип оптималь-

ности, предлагающий динамически устойчивое решение из С-ядра для дифференциальных кооперативных игр и построена процедура распределения дележа (ПРД) [41], обеспечивающая неотрицательные выплаты агентам вдоль оптимальной траектории. Однако, при использовании аналогичных процедур в многошаговых ТП-играх мы можем столкнуться с отрицательными платежами на некотором шаге. Это, фактически, означает, что игроки вынуждены возвращать часть заработанных сумм для сохранения динамической устойчивости решения. Последнее приводит к необходимости построения ПРД, учитывающих дискретный характер выплат выигрышей игрокам, специально для многошаговых игр.
Основой изучения свойств решений динамических кооперативных игр являются аналогичные свойства этих решений в статической теории. В разное время этой теме были посвящены работы [4, 17, 25, 26, 34, 38, 40, 43] и многие другие.
Одним из важных свойств решений кооперативных игр является свойство редуцированной игры [20, 23, 26, 28, 29, 31, 35, 36, 39, 45, 48, 51, 52, 54], или согласованность. Согласованность решения означает, что при выходе из исходной игры некоторой коалиции игроков оставшиеся могут придерживаться в редуцированной игре того же решения, что и в начальной, при этом значения индивидуальных выигрышей останется прежним. В данной работе вводится подобное понятие для динамических кооперативных игр, устанавливаются условия динамической согласованности для дележей из 5(7-ядра, предлагается процедура регуляризации динамически неустойчивого решения с помощью редукции исходной игры.

Цель работы заключается в исследовании реализуемости во вре-

мени решений многошаговых кооперативных игр, изучении свойств селекторов С-ядра классических и динамических кооперативных игр, построении процедур перераспределения выигрышей в многошаговых кооперативных играх.
Научная новизна. В диссертационной работе впервые были установлены необходимые и достаточные условия динамической устойчивости решений из ЭС-ядра для многошаговых кооперативных игр, предложены процедуры перераспределения доходов для многошаговых кооперативных игр, введено понятие динамической согласованности принципа оптимальности, исследованы процедуры регуляризации динамически неустойчивого решения из С-ядра с использованием редукции исходной игры, построена кооперативная модель реализации механизмов Киотского протокола, направленного на снижение выбросов парниковых газов. Основные результаты работы опубликованы в [7, 8, 27, 56, 55].
Практическая ценность. Предложенные в диссертации способы перераспределения суммарного дохода игроков в многошаговых кооперативных играх могут быть использованы в многошаговых моделях экономики, экологии.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры Математического моделирования энергетических систем факультета Прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета (далее — ПМ-ПУ СПбГУ), семинарах Центра теории игр при факультете ПМ-ПУ СПбГУ, научных конференциях факультета ПМ-ПУ СПбГУ «Процессы управления и устойчивость» (2001, 2002 гг.), Международном симпозиуме по динамическим играм и

В первых двух случаях мы пользуемся для оценки суммы VI (в) + у1(Т) только супераддитивностью исходной игры, в третьем случае также учитывается выпуклость (]Г, у) и неотрицательность величин д({г}) и (г. Лемма доказана.
1.5 МДМ-редукция (Ы
Введем теперь МДМ-редукцию для более общего случая, когда игру (IV, д) покидает коалиция Д. Легко показать, что характеристическая функция конечной игры не зависит от последовательности выхода игроков г Е Д и будет равна
г$(Д) =
О, 5 = 0,
«(*)-£**** Б — N Я, (1.28)
^ тах^сн {д(5 и К) - $} , 5 С ^ Д.
Здесь х — дележ в исходной игре, € Х°(1У, д).
Для доказательства данного факта воспользуемся индукцией. База индукции. Рассмотрим МДМ-редуцированную игру (IV {г} , д|0) и найдем МДМ-редукцию ( N {г,у }, ^д^
(д^о(0) = О = д‘ЭД,
К°)^ (М {*, Л) = {г}) - - Жг; - XI =
И0)^ (Л =тах{д|о(5иу) -^;д|0(5)} =
= тах {д(5 и {г,у}) - £? - <^0;д(5и ;') -£®;д(5 и г) - £?; д(Д)} = д^(5), ScN{г,J}.