Оценка и приближение сегментных функций полиномиальной полосой

• Автор: Сорина, Евгения Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 124 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ ЗАДАЧ

§ 1. Постановки задач

1.1. Внешняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой 1В

1.2. Псевдовнутренняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой

1.3. Наилучшее равномерное приближение сегментной функции полиномиальной полосой

§ 2. Наилучшее приближение сегментной функции полиномиальной полосой фиксированной ширины
§ 3. Связь задач о внешней и внутренней оценке с задачей приближения полиномиальной полосой фиксированной ширины
§ 4. Связь задачи о наилучшем приближении с задачей приближения полиномиальной полосой фиксированной ширины

§ 5. Сравнение задачи о внешней оценке с задачей Б. Сендова

Глава 2. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
§ 6. Существование решений задач
§ 7. Критерии решения задач о внешней и псевдовнутренней оценках
§ 8. Критерий решения задачи о наилучшем приближении полиномиальной полосой фиксированной ширины
§ 9. Необходимые и достаточные условия решения задачи наилучшего
приближения

Глава 3. УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
§ 10. Условия единственности решения задачи о внешней оценке
§11. Условия единственности решения задачи приближения полосой фиксированной ширины
§ 12. Условия единственности решения задачи о наилучшем приближении
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Приложение А. Вспомогательные сведения из выпуклого анализа

ВВЕДЕНИЕ
1. Задачи по оценке и приближению сложных многозначных отображений многозначными отображениями простой структуры находят обширные приложения в естествознании, в том числе и в самой математике, и представляют один из разделов негладкого анализа.
Локальными аппроксимациями многозначных отображений занимались многие отечественные и зарубежные математики (Пшеничный Б.Н. ([16] — [17]), Демьянов В.Ф. ([4] - [7]), Рубинов А.М. ([19] - [20]), Половинкин Е.С. ([14] - [15]), Минченко Л.И. ([11]), Обен Ж.П. ([13]), Гороховик В.В. ([1]) и др.)
К задачам, имеющим нелокальный характер, относятся, в частности, внешнее и внутреннее эллипсоидальное оценивание многозначных отображений. Многие известные математики занимались эллипсоидальными оценками множеств достижимости динамических систем (см., например, Черноусько Ф.Л. ([22]), Куржанский А.Б. ([23])).
Относительно немного известно работ по равномерному приближению многозначных отображений на заданном множестве. Так в работе Никольского М.С. ([12]) рассматривается задача о равномерном приближении непрерывного многозначного отображения, заданного на отрезке, постоянным выпуклозначным отображением.
Простейшим примером многозначного отображения является сегментная функция. Диссертация посвящена исследованию некоторых задач по оценке и приближению сегментной функции таким объектом как полиномиальная полоса. Сформулируем эти задачи.
Будем считать, что сегментная функция Л (Г) = [/| (0,/г(0] задана на отрезке [с,с/] двумя непрерывными функциями /[(/) И /2(0, причём /](/) < /2(0
0„+i &dAp(AQ,r),
что говорит о том, что А0 - точка минимума выпуклой по А функции <р(А, г), то есть А0 є Q(p(r). Тем самым мы доказали включение
T£(r)d{г), гє[г;,+ со). (3.32)
Отсюда и из формулы (2.1) следует
/ (г) = min (p(A,r)~ min ДєІКп+1 А<еТР{г) ЛєТЩг)
= min (ж(А) + г) = ж* + г, геЬ,+® . (3.33)
AsTg(r) 1 '
Покажем, что и обратное к (3.32) включение также справедливо. Если предположить, что Q.tp(r) с2 Т% (/), то это будет означать существование вектора Ах є Qfp (г) такого, что Ах £ Т% (г). Поэтому, либо Ах & и тогда
<р(Ах, г) = тах{р(Ах) - г, ж(Ах ) + г}> ж(Ах ) + г> ж* + г, (3.34)

либо Ах є 0.л, но р( Ах) - г > ж + г и тогда
(р{Ах,г) = тах{р(Ах) - г,ж(Ах) + г] > р(Ах)-г> ж* + г. (3.35)
А так как <р(Ах,г) = /(г), то в любом случае (3.34) - (3.35) противоречит (3.33).
Таким образом, мы доказали обратное к (3.32) включение, а следовательно, и равенство (3.27).
г) Сделаем соответствующее уточнение формулы (3.27) для случая
г є |r~,+oo j, то есть когда

г >(тах р(А)-ж )/2.
АеПл
Это неравенство означает, что для любого АеПл выполняется
ж* +г>р(А)-г. Таким образом, в этом случае Т%(г) = 0.ж. В итоге формула
(3.15) доказана.
2) Рассмотрим случай, когда Q.p Г) 0.л =£ 0, то есть у задач (1.1) и (1.2) существуют общие решения. Тогда поскольку в этом случае