Математическое и компьютерное моделирование нелинейных распределенных механических систем

• Автор: Жигалов, Максим Викторович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 335 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. Исторический обзор
Глава 1. Метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений математических моделей распределенных механических структур
§ 1.1 Метод линеаризации для математических моделей, содержащих бигармонический оператор. Уравнения Кармана. Доказательство сходимости
итерационной процедуры
§ 1.2 Метод понижения порядка дифференциального оператора
для математических моделей, содержащих бигармонический оператор
§ 1.3 Метод линеаризации и понижения порядка для математических моделей
на основе гипотез Кирхгофа, С.П. Тимошенко, Шереметьева - Пелеха
§ 1.4. Метод линеаризации и понижения порядка для нелинейных уравнений,
содержащих бигармонический или гармонический операторы
§ 1.5 Численные примеры
Выводы по главе
Глава 2. Численные методы решения уравнений, содержащих бигармонический и гармонический операторы, для областей
с криволинейной границей
§ 2.1 Итерационная процедура сведения бигармонического уравнения к уравнению типа Пуассона для областей с криволинейной границей.
Доказательство сходимости итерационной процедуры
§ 2.2 Численные процедуры методов конечных и граничных элементов
для двумерных задач с криволинейной границей
§ 2.3 Результаты решений методами конечных разностей, конечных и граничных элементов уравнения кручения стержня. Переход от уравнения Пуассона к уравнению Лапласа
§ 2.4 Численное решение бигармонического уравнения. Сравнение результатов
для процедуры понижения порядка, полученных различными численными
методами
Выводы по главе
Глава 3. Нелинейная динамика однослойных балок, математической модели
Бернулли - Эйлера
§ 3.1 Математическая модель нелинейной балки Бернулли - Эйлера
§ 3.2 Сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим.
Карты характеров колебаний
§ 3.3 Исследование математической модели нелинейной динамики балок
Бернулли - Эйлера с помощью вейвлет-преобразования
Выводы по главе
Глава 4. Нелинейная динамика однослойных балок, математических моделей
С.П. Тимошенко и Шереметьева - Пелеха
§ 4.1 Математические модели нелинейных балок С.П. Тимошенко
и Шереметьева - Пелеха
§ 4.2 Сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим.
Карты характеров колебаний. Сравнение моделей
§ 4.3 Исследование математических моделей нелинейной динамики балок
С.П. Тимошенко и Шереметьева - Пелеха
с помощью вейвлет преобразования
Выводы по главе
Глава 5. Нелинейная динамика многослойных балок
§ 5.1 Математические модели многослойных балок с использованием гипотез
Бернулли - Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева - Пелеха
§ 5.2 Анализ нелинейной динамики многослойных балок. Карты характеров
колебаний
§ 5.3 Математические модели контактных задач балок с использованием гипотез
Бернулли - Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева - Пелеха
§ 5.4. Численное исследование балок с учетом трех типов нелинейности
Выводы по главе
Глава 6. Нелинейная динамика пластин и оболочек
§6.1 Математические модели пластин и оболочек, основанные на гипотезе
Бернулли - Эйлера
§ 6.2 Вейвлет-анализ при исследовании цилиндрических панелей и замкнутых
цилиндрических оболочек
§ 6.3 Анализ нелинейной динамики пластины произвольного очертания
Выводы по главе
Заключение
Список сокращений и условных обозначений
Список литературы

Проведя интегрирование по толщине (1.4), находим формулы для усилий, умножив на 2 (1.4) и произведя интегрирование, получаем формулы для моментов:

12(1 -у2)
(э2
О IV О щ ■ + V-
, Мх =

/ ~.2 я2 Л
О ЗГ О Щ
V — + -

чоЬс2 ду2)’ 1 12(1 -у2){ дх2 ду

(1.5)
12(1 + у)дхду
Ек / ч Ек / Ек
= 7 2^1 +ув2), т2= т(Щ +£2)> Тп =———£12. (1.6)
1 - V 1 - V 2(1 + [л)
где М, М2, М2 - изгибающие и крутящие моменты, Тх,Т2Тп- продольные и поперечные усилия в срединной поверхности, Ех, £2, £2 - деформации
срединной поверхности. Рассматривая динамический процесс на временном отрезке от момента времени /0 до момента времени tx и проводя сравнение различных траекторий движения системы для заданного отрезка времени между начальным положением и конечным положением, можно сказать, что истинные траектории отличаются от возможных траекторий тем, что для этих траекторий выполняется условие
)(Ж-Ж + ЗУЕ)Ж = 0. (1.7)

здесь К - кинетическая энергия, V - потенциальная энергия, к'IV - сумма элементарных работ внешних сил. Используя соотношения теории упругости, а также учитывая гипотезу недеформируемой нормали, потенциальную энергию деформации можно записать как

!( 2 П -И/
Учитывая (1.2) и (1.4), проинтегрируем по г и получим