Символьное решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

• Автор: Рябенко, Анна Андреевна
• Шифр специальности: 05.13.11
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 121 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Предварительные сведения о решении линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов
1.1. Решение уравнений в обыкновенных и в особых точках
1.2. Решение уравнений с полиномиальными коэффициентами
1.3. т-Разреженные решения и т-точки
1.4. Экспоненциально-логарифмические решения
Глава 2. Решение неоднородных уравнений с помощью рядов с гипергеометрическими коэффициентами
2.1. Решение неоднородных уравнений с помощью рядов
2.2. Решения в виде рядов с гипергеометрическими коэффициентами
2.3. Гипергеометрические точки неоднородных уравнений
2.4. Решения в виде рядов с коэффициентами других видов
Глава 3. Эффективное построение множества т-точек
3.1. Модулярный алгоритм построения для дифференциального оператора разреженного правого делителя с постоянными коэффициентами
3.2. Модулярно-вероятностный алгоритм построения конечного множества, содержащего все т-точки
Глава 4. Экспоненциально-логарифмические решения, содержащие ряды с ш-гипергеометрическими коэффициентами .
4.1. т-Гипергеометрические решения однородных и неоднородных
рекуррентных соотношений

4.2. Построение общего экспоненциально-логарифмического решения дифференциального уравнения
4.3. т-Типергеометрические решения “треугольной” системы рекуррентных соотношений
4.4. Экспоненциально-логарифмические решения, содержащие ряды с т-даламберовыми коэффициентами
Глава 5. Пакет Б1ос1е
5.1. Представление входных данных в Б1ос1е
5.2. Представление выходных данных в 31ойе
5.3. Процедуры построения решений в виде формального ряда
5.4. Процедура построения множества точек кандидатов
5.5. Процедура построения множества т-кандидатов
5.6. Процедуры построения решений в виде ряда с полиномиальны-
ми, рациональными, гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами
5.7. Процедура построения т-разреженных решений
5.8. Процедура построения т-разреженных т-гипергеометрических решений
5.9. Процедуры построения формальных решений
Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы. Значительная часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений посвящена линейным уравнениям (см. [1-5]). Алгоритмы решения линейных уравнений с помощью рядов достаточно подробно разработаны и реализованы как численно, так и в системах компьютерной алгебры. С помощью этих алгоритмов для решения в виде ряда £“0 vn(x — а)п в заданной точке х = а можно найти любое заданное число начальных коэффициентов Vq,Vi, .. .Уц. Численными методами их значения находятся приближенно, компьютерно-алгебраически — точно.
Частный случай линейного уравнения — уравнение с полиномиальными коэффициентами — изучается в компьютерной алгебре особо ([6, 7]). Последовательность {г^}^ в этом случае удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами ([8, 9],[10]).
Использование алгоритмов С.А. Абрамова, М. Петковшека построения полиномиальных, рациональных, гипергеометрических, даламберовых решений рекуррентного соотношения (см. [8, 11-15]) дает возможность поиска для дифференциального уравнения решения в виде ряда в заданной точке с коэффициентами, которые можно записать формулой от индекса (и тогда ряд полностью выписывается в явном виде).
С помощью алгоритма П.Е. Глотова (1998) поиска наибольшего общего делителя полиномов Оре, зависящих от параметра (см. [16]), осуществляется поиск разреженных правых делителей разностного оператора и, затем, построение для дифференциального уравнения решения в виде разреженного ряда.
В работах С.А. Абрамова, М. Петковшека (1996, 2000) было показано, как построить множества полиномиальных, рациональных, гипергеометрических точек однородного дифференциального уравнения, то есть таких то-

о иначе, полагаем
аг,п = 0 для 1 < г < 7;
9п = О
и добавляем новый вектор
^'у-Т1,0..П ' (б? • ‘ *
увеличиваем значение 7 на 1.
Если алгоритм удачно завершился при п = «*(/?, {/п}^10)? мы получаем аффинное пространство начал
1п(Б, {/„}~=0) = {зо..1-(яШп=о)+ Вх 0) + ' ■ ■
1- В7 а7,о..(,*(д,{/„}“=0) : -Вь ..., Б7 € К(ж0)|,
которое изоморфно С(Б, {/п}^) ~ пространству всех последовательностей {г;п}^=0, удовлетворяющих соотношению Rvn = /„ при п ^ О, считая, что уп = 0 при п < 0.
Алгоритм можно использовать для построения векторов а,, д заданной длины М. При этом должно выполняться М ^ <-*(Б, {/п}^о)- Ниже этот алгоритм представлен в формализованной записи.
Алгоритм построения 1п(й, {fn}T=o) длины М Вход:
R — разностный оператор;
(/о,... ,/n0-i) — начало последовательности правой части уравнения рекуррентного соотношения;
f{n) — формула для вычисления всех последующих /га;
М — длина начала решения для Rvn = fn (необязательный аргумент).