Проявления волнового хаоса в микроволновых, упругих и LCR-биллиардах

• Автор: Максимов, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 87 с. : ил.

Оглавление

Введение
Глава 1. Обзор литературы
1.1. Волновой хаос в биллиардах
1.2. Нодальные точки в случайных гауссовых полях
Глава 2. Волновой хаос в микроволновых биллиардах
2.1. Случайные гауссовы волны и их свойства
2.2. Тензор напряжений в хаотических микроволновых биллиардах
Глава 3. Волновой хаос в LCR биллиардах
3.1. Электрические резонансные схемы эквивалентные квантовым биллиардам
3.2. Волновой хаос к электрических резонансных цепях
Глава 4. Случайные гауссовы волны в изотропных упругих средах
4.1. Случайные гауссовы волны в упругой среде
4.2. Двойное лучепреломление на границе биллиарда
4.3. Численный эксперимент
Глава 5. Нодальные точьки в случайном поле упругих деформаций
5.1. Нодальные точки и их свойства
5.2. Статистические свойства нодальных точек
5.3. Распределение ближайших расстояний между нодальными точками
Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы. Термин "волновой хаос "охватывает широкий круг явлений, характерных для динамики хаотических систем, как квантовых, так и классических. В первую очередь остановимся на теории квантового хаоса [1, 2]. Под теорией квантового хаоса подразумевается теория систем, которые в своем классическом пределе демонстрируют хаотическую динамику. Основной чертой квантовых хаотических систем является универсальность статистических свойств, не зависящая от их физической природы. Примерами такой универсальности являются: распределение ближайших межуровне-вых расстояний в спектре хаотических систем [3], гауссова статистика собственных функций [4], универсальные флуктуации проводимости [5] и т.д.
Благодаря достижениям нанотехнологии в области методов молекулярнолучевой эпитаксии и литографии в 1980-х годах [6, 7] появилась возможность создавать различные искусственные полупроводниковые структуры с заданной геометрией, масштабы длин и энергий в которых позволили наблюдать целый ряд не исследованных раннее квантовых эффектов. Поскольку при температурах порядка тК неупругое рассеяние значительно подавленно, длина фазовой когерентности электрона превышает размер такой структуры. Таким образом, динамика электрона в таких системах определяется только геометрией системы и "чистой" квантовой механикой. Примером таких систем являются биллиарды - квантовые ящики с бесконечно высокими потенциальными стенками. Биллиарды как динамические системы приобрели популярность, когда стало ясно, что самым наглядным примером динамической системы с перемешиванием траекторий является биллирад отрицательной кривизны. Последующие исследования показали, что биллиарды с фокусирующими участками также могут приводить к перемешиванию. Трудно указать такой биллиард (конечно, не очень правильной формы), который не создавал бы хаотических траекторий частиц. Биллиарды с регулярными

траекториями являются редким исключением [8]. Регулярные биллиарды в первую очередь отличаются от хаотических тем, что количество степеней свободы движущейся в них частицы равно количеству интегралов движения [1]. С точки зрения квантово-механического описания это приводит к тому, что уравнение Шрёдингера может быть решено переходом в представление этих интегралов движения. Поэтому такие биллиарды называют также интегрируемыми.
Однако, экспериментальное изучение квантовых биллиардов встречает целый ряд трудностей, обусловленных их сложной физической природой. Так, наблюдение многих эффектов, предсказанных в теории идеальных одноэлектронных систем, может осложняться электрон-фононным и кулоновским взаимодействием, а также погрешностями измерения при помощи сканирующего электронного микроскопа. Неудивительно, что в такой ситуации целый ряд исследователей обратили внимание на классические системы, динамика распространения волн в которых эквивалентна волновой динамике электрона.
Волновая природа электрона, как оказалось, имеет непосредственную аналогию с другими волновыми процессами. Например, уравнения, описывающие электрон в двумерных наноструктурах в баллистическом режиме, эквивалентны уравнениям электромагнитного ТМ поля в плоско-параллельных волноводах, что позволило наблюдать в них целый ряд эффектов характерных для квантового хаоса [9, 10]. Эта эквивалентность также открывает широкие возможности тестирования квантовых электронных устройств в макроскопических волноводных системах. Среди полученных результатов, близких к тематике диссертационного исследования, отметим: универсальность распределения волновой функции для открытых биллиардов [11] и экспериментальное наблюдение вихревой структуры линий плотности потока энергии в эксперименте с рассеянием волн на открытом биллиарде [12, 13].
Упругие системы также привлекают к себе внимание в рамках теории

Рис. 2.7. Коэффициент прохождения Т (сплошная линия) и параметр открытости е (штриховая линия), как функция безразмерной энергии к2 для биллиарда Синая, показанного на Рис. 2.6. Отмечены максимум е = 0.75 (А) и минимум параметра открытости е = 0 (В). В каждом волноводе открыт только один канал рассеяния.
Распределения компонент тензора напряжений показаны на Рис. 2.8 и Рис. 2.9 совместно с распределением ]х [12] вдоль оси транспорта

Р(,3х) = -у~- (2.42)
Видно хорошее согласие между теорией и численными расчетами. Однако, для гистограммы jx на Рис. 2.8 заметно небольшое отклонение от распределения (2.42). Причина состоит в наличии составляющей тока обеспечивающей ненулевой коэффициент прохождения для данного значения е, которая не была учтена аналитически при интегрировании по изотропным гауссовым полям [75]. Тем не менее, как показывают численные расчеты, это отклоне-