Нерелятивистская конформная симметрия и ее приложения

• Автор: Мастеров, Иван Викторович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 103 с.

Оглавление
Введение
1 Динамические реализации /-конформной алгебры Галилея
1.1 Лево-инвариантные формы Маурера-Картана
1.2 Примеры
1.2.1 Динамическая реализация I — 1-конформной алгебры Галилея
1.2.2 Динамическая реализация I = 2-конформной алгебры Галилея
1.3 Случай произвольного /
1.4 Реализация I = ^-конформной алгебры Галилея с высшими производными
2 /-конформная алгебра Ньютона-Гука и ее динамические реализации
2.1 Структурные соотношения /-конформной алгебры Ньютона-Гука
2.2 Бесконечномерное расширение
2.3 Структура центральных расширений
2.4 / = 1-конформная алгебра Ньютона-Гука и зо(2,4)
2.5 Динамическая реализация /-конформной алгебры Ньютона-Гука .
2.5.1 Отрицательная космологическая постоянная
2.5.2 Положительная космологическая постоянная
2.5.3 / = |-конформная алгебра Ньютона-Гука и осциллятор
Паиса-Уленбека
3 N — 2 суперсимметричное расширение /-конформной алгебры
Галилея и суперсимметричная механика
3.1 Структурные соотношения N = 2 суперсимметричного расширения /-конформной алгебры Галилея
3.2 М = 2 суперсимметричное расширение /-конформной алгебры
Ньютона-Гука
3.3 Бесконечномерное расширение
4 Преобразование подобия в нерелятивистской конформной механике
4.1 Нерелятивистская конформная механика и / — —конформная алгебра Галилея
4.2 Унитарные автоморфизмы / = ^-конформной алгебры Галилея
4.3 Конформная механика в гармонической ловушке
4.4 N = 2 суперсимметричное расширение
4.5 Унитарные автоморфизмы ][ = 2 супералгебры
Заключение
Список использованной литературы
Приложение А

Введение
В последнее время наблюдается всплеск интереса к теориям поля и механическим системам проявляющим конформную инвариантность. Конформная симметрия является неотъемлемым ингредиентом ряда важнейших моделей, представляющих физический и математический интерес. Достаточно упомянуть, что уравнения Максвелла, безмассовые уравнения Дирака и Клейна-Гордона, уравнения Шредингера для свободной нерелятивистской массивной частицы и уравнение многомерного гармонического осциллятора обладают конформной инвариантностью [1]-[7]. В основе теории (супер)струн, которая к настоящему моменту рассматривается в качестве основного претендента па роль единой теории фундаментальных взаимодействий элементарных частиц, лежит бесконечномерная конформная симметрия [8]. Даже столь экзотическое явление как движение массивной заряженной частицы вблизи горизонта событий экстремальных черных дыр описывается в терминах конформной механики [9, 10, 11].
На протяжении последних 15 лет центральной темой в исследовании конформной симметрии является изучение различных аспектов соответствия между конформной теорией поля в плоском пространстве и теорией струн в искривленном пространстве большей размерности (АдС/КТП-соответствие) [12]. Важная особенность АдС/КТП-дуальности состоит в том, что она устанавливает связь между конформной теорией поля в плоском пространстве в режиме сильной связи и теорией струн в искривленном пространстве в режиме слабой связи. Иными словами, АдС/КТП-соответствие предлагает принципиально новый подход к исследованию сильно взаимодействующих теорий поля, для которых стандартное пертурбативнос разложение плохо определено. Наиболее известным примером такого рода является соответствие между N — 4 суиерсим-мстричной теорией поля Янга-Миллса и теорией струны типа ИВ в пространстве

, (1-68)
где Qj, A, /д and щ -константы интегрирования, которые могут быть выражены через cf С^ Cf cf И и V, a s(t) определена в (1.28)
Отметим, что все четыре генератора Cjn^ являются функционально независимыми, что согласуется с тем фактом, что для интегрирования двух дифференциальных уравнений второго порядка, или одного дифференциального уравнения четвертого порядка, требуется четыре функционально независимых интеграла движения.
Принимая во внимание соотношение (1.28) между t и s, система уравнений (1.64) может быть отображена в набор двух осцилляторов в d измерениях
5 + 37V. + 27^ = 0. ** + <*>*-*£-0. (1.69)
Интересной открытой проблемой является возможность деформировать уравнения движения (1.64) и законы преобразований (1.66) нелинейными вкладами без нарушения I — f-конформной симметрии Галилея.
Таким образом, в данной главе метод нелинейных реализаций был применен к /-конформной группе Галилея для построения динамических уравнений без высших производных, обладающих /-конформной симметрией Галилея. Конфигурационное пространство системы включает в себя координаты, которые параметризуют набор частиц в (/-мерном пространстве и конформную моду, которая описывает эффективное внешнее поле. Для заданного значения / динамическая реализация включает в себя набор уравнений обобщенных осцилляторов, каждое из которых инвариантно относительно /-конформной группы Галилея. Статус генераторов ускорений оказывается аналогпчым статусу генератора специальных конформных преобразований в конформной механике. Несмотря на то, что ускорения включены в общую алгебраическую структуру симметрий уравнений движения, они являются функционально зависимыми от Cf^ и

(v + т) 1 , (V + tnf

= А - «г
iv + tu)

(у + mf