Оценки и погрешности некоторых разностных методов решения параболических уравнений

• Автор: Туретаев, Исабек Джолшибекович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 c. : ил

Глава I. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И
ОБОЗНАЧЕНИЯ
§ I. Пространства суммируемых и дифференцируемых
функций
§ 2. Некоторые сведения из теории интерполяции
пространств
§ 3. Пространства кусочно-полиномиальных функций
Глава 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДДЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ
§ I. Дифференциальные свойства решений параболических уравнений
§ 2. Неявные схемы Кранка-Никольсон
§ 3. Экономичные схемы второго порядка аппроксимации
§ 4. Неявная проекционно-разностная схема повышенного порядка точности
§ 5. Экономичные проекционно-разностные схемы
повышенного порядка точности
§ 6. Оценка градиента погрешности экономичной
проекционно-разностной схемы
Глава 3. ЭКОНОМИЧНАЯ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ

§ I. Коэрцитивная разрешимость экономичной схемы
§ 2. Оценка скорости сходимости
ЛИТЕРАТУРА

Важную роль при численном решении многомерных параболических задач играют экономичные разностные (проекционно- и конечно-разностные) схемы (p.c.). Изучение для таких схем вопросов оптимальности и погрешности в случае негладких данных является одной из задач вычислительной математики.
Настоящая диссертация посвящена оценкам погрешности некоторых разностных методов решения линейных параболических уравнений второго порядка. На классах правых частей и начальных функций получены оценки скорости сходимости следующих двухслойных схем: а) экономичной конечно-разностной схемы (к.р.с.) второго порядка аппроксимации для первой начальной-краевой задачи для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами j б) неявной и экономичных проекционно-разностных схем (п.р.с.) повышенного порядка аппроксимации решения периодической задачи Коши (с постоянными коэффициентами)
Опишем подробнее содержание диссертации и дадим краткий обзор литературы.
I. Глава I является вспомогательной. В § I введен ряд пространств суммируемых и дифференцируемых функций, а также некоторые обозначения^ в § 2 указаны необходимые сведения из теории интерполяции пространств и введены пространства с промежуточными индексами относительно пространств из § Ij в § 3 приведены пространства сплайнов степени Zi-l (i^i) дефекта i и отмечены их аппроксимационные свойства. Приведенные в главе I сведения и обозначения используются в следующих главах при оценке скорости сходимости p.c.
Основные результаты диссертации содержатся в главах 2, 3.

Следствие. Верна оценка
*/Г*М +//01%; ДГМ й *пМ± ■
Доказательство. Из цепочек неравенств
(В+г/г/)(/1 + А/г)*/ы)**4
+ (ФЛ^ЫьА + (тА)3А(з) )Ч*/а< №В Ап,
(В>+У2Л)А^ * ВЧ +(Ш*А(2))Ч ^ № БЧ
(здесь использованы неравенства (Пб) и (Па)) следует, что операторы и (А~*А(2)Ъ)^2 не превосходят И21 0-. Поэтому выписанная оценка вытекает из второго неравенства леммы 5.
Лемма 6. При £=0,1 справедливы оценки
+Нв-*лк<*м^,
где при к=0 следует считать ио=о либо ослабить В~^2 ^-У^А^е) до £(е)^ соответственно.
Доказательство. Указанная оценка £ получается, если применить к ^./г следствие леммы 2.3, а затем воспользоваться леммой 2.1 и последней оценкой леммы 5 с учетом неравенств
/16)+^0) ^ &1в)^В.
Пусть теперь £=0 и К.0Фо? то в силу неравенств
(см. (Па)) достаточно рассмотреть случай £=■О. Применим к лемму 2.3 с С = ЕРА^&> ^)-т°гда
Остается учесть неравенства
ЛЮ&АЮ)^ в(в)^в
и следствие леммы 5.
Замечание 2. Лемма сохраняет силу при замене нормы //*//уГ
на II-Ль.
Перейдем к оценке погрешности экономичных схем (9), (10).