СТРОЕНИЕ АССОЦИАТИВНЫХ КОНФОРМНЫХ АЛГЕБР

• Автор: КОЛЕСНИКОВ, ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 138 с.

Оглавление
Глава 1. Предварительные сведения
§ 1.1. Конформные алгебры
§1.2. Псевдоалгебры
§ 1.3. Конформная линейная алгебра
§ 1.4. Рост алгебр и размерность Гельфанда — Кириллова
§ 1.5. Диалгебры и алгебры Лейбница
Глава 2. Мультикатегории и псевдоалгебры
§2.1. Мультикатегории и операды
§ 2.2. Алгебры и псевдоалгебры
§ 2.3. Конформные алгебры над линейной алгебраической группой
§ 2.4. Многообразия ТГ-конформных алгебр
Глава 3. Алгебры конформных линейных отображений
§3.1. Конформные линейные отображения
§ 3.2. Структура алгебры конформных эндоморфизмов свободного
модуля
§ 3.3. Алгебра операторов
§ 3.4. Неприводимые подалгебры в Сепс1п
Глава 4. Неприводимые алгебры конформных эндоморфизмов над
аффинной прямой
§4.1. Алгебры дифференциальных операторов
§4.2. Алгебры операторов линейного роста
§ 4.3. Классификация неприводимых конформных подалгебр
Глава 5. Ассоциативные конформные алгебры с точным представлением
конечного типа
§5.1. Простые и полупростые алгебры
§ 5.2. Нильпотентный радикал
§ 5.3. Строение ассоциативных ТС-алгебр
Глава 6. Простые ассоциативные конформные алгебры линейного роста . 103 §6.1. Размерность Гельфанда — Кириллова конформных алгебр
и модулей
§ 6.2. Алгебра 0-умножений
§ 6.3. Классификационная теорема

Оглавление
Глава 7. Диалгебры, алгебры Лейбница и конформные алгебры
§ 7.1. Диалгебры и соответствующие операды
§7.2. Многообразия диалгебр
§ 7.3. Диалгебры и конформные алгебры
§ 7.4. Точные представления алгебр Лейбница
Список литературы
Работы автора по теме диссертации
Глава
Предварительные сведения
Данная глава носит вводный характер. Здесь мы приводим необходимые определения и конструкции, объясняем связи между ними, формулируем задачи и известные результаты о конформных алгебрах и их обобщениях (псевдоалгебрах), непосредственно относящиеся к теме диссертации.
§1.1. Конформные алгебры
Понятие конформной алгебры, предложенное в книге [38] (в работе [51] аналогичное понятие названо вертексной алгеброй Ли), является инструментом исследования алгебр вертексных операторов (вертексных алгебр). Последние возникли как формальный язык для описания алгебраических свойств операторного разложения произведений (operator product expansion, OPE) в двумерной конформной теории поля, начало которой положено в работе [10]. Строгое математическое изложение соответствующей теории было впервые предложено в [15] и впоследствии развито в работах различных авторов (см., например, [26, 32, 45]). В настоящее время теория алгебр вертексных операторов является одной из наиболее активно развивающихся областей теории представлений и математической физики.
Связь между вертексными и конформными алгебрами во многом подобна связи обычных ассоциативных и лиевых алгебр, поэтому исследования конформных алгебр важны для теории вертексных алгебр и ее многочисленных приложений.
Алгебраические системы, известные как конформные алгебры, исходно появляются в следующем контексте. Пусть L — некоторая (обычно бесконечномерная) алгебра или суиералгебра Ли. Каноническими примерами, возникающими в задачах математической физики, являются алгебра лорановых многочленов L = k[f,i_1] ® g или алгебра L = Der(k[£, £_1] g Л„), где k = С — поле комплексных чисел, 0 — конечномерная (супер)алгебра Ли, Ап — алгебра Грас-смана от п переменных, a Der означает алгебру Ли всех дифференцирований. Два формальных ряда a(z),b(z) € Д[[д, л-1]] называются взаимно локальными, если
[а(ад), Ь(г)](ги — z)N = 0 для некоторого N > 0. 4 '
(1.1)
§2.4. Многообразия Н-конформных алгебр

Доказательство. Для любого конечного набора /1 ,

Пусть у £ 8рап{(1 ®и)х и £ II, х € С Хп~1 где £7 С X"-1 на-
тянуто на полиномы, совокупная степень которых превосходит максимальную совокупную степень элементов Я
Следовательно, отображение Р продолжается на ХО-і) по непрерывности.
Предложение 2.18. Элемент / £ Я®71 С равен нулю тогда и только тогда, когда Р{у): / 0 любого у Є
Доказательство. Легко показать (см., например, [54]), что а(£-1) = 0 для а Є С тогда и только тогда, когда а = 0. Следовательно, если Рр1’"’Хп{/) = О при всех Х2
Пусть Сі, С Є Я-тос1, Хі € X, йі Є Сг, і = 1
СоеД <(аі(жі)
Необходимо убедиться, что отображение СоеД р корректно задано соотношением (2.27). Действительно, в силу (2.26)
СоеД у?((Я1аі)(гс1)
_ 'Р(х1(1)...х„_1(1))Л„(п) <Р(аи > ап)-
Используя (2.22), можно переписать правую часть последнего равенства в виде
(х„(х1(і)/гп(_1))...(хп_і(і)Л„(_„+і)))/гп(п)Т? 1 ’ * ' ' ’
что, в свою очередь, совпадает с
• >а") = Соей (“і(*ілі). ап{хпК))
в силу (2.21), (2.22).
Теорема 2.19. Правила (2.24), (2.27) определяют симметрический функтор из мультикатегории Н-той в мультикатегорию Уеск.
Доказательство. Покажем сперва, что правило СоеД сохраняет композиции. Пусть 7Г = (ті
С). Обозначим СоеД р через /, а СоеД фі — через /*, і — 1