Бинарные аддитивные задачи с полупростыми числами, лежащими в коротких промежутках

• Автор: Зинченко, Наталья Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 71 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения
Введение
Глава 1. Вспомогательные утверждения
Глава 2. Доказательство теоремы
Глава 3. Доказательство теоремы
Глава 4. Доказательство теоремы
Список литературы
Обозначения
с,ci,C2, — положительные постоянные, в различных формулах, вообще говоря, различные;
а — произвольное натуральное число, а 2;
Р> PitР2— простые числа;
_ (т-пЩ-т _ бИНОМИаЛЬНЫЙ коэффициент;
п* = /£;

т(п) — число различных натуральных делителей числа го;
<р(го) — функция Эйлера — число натуральных чисел, не превосходящих го и взаимно простых с го;
запись с? I го означает, что го кратно с?;
запись а = 6 (mod т) означает, что т (а — ft);
//(го) — функция Мебиуса — равна единице при го = 1, равна нулю, если р2|го и равна (—l)fe , если го равно произведению к различных простых сомножителей;
А(го) — функция Мангольдта — равна 1пр, если го — степень простого числа р, и равна 0 в противном случае;
Ç(s) — дзета-функция Римана;
7г(ж)— число простых чисел, не превосходящих числа х
{х} — дробная часть числа х
(а, Ъ) — наибольший общий делитель чисел а и 6;
[а, 6] — наименьшее общее кратное чисел а и 6;
||£|| — расстояние от £ до ближайшего целого числа; при а к, (а, к)
7г(х, а, к) = 1, Ф(х, а, к) = Л(го);
рх пх
р~а (mod к) nsa (mod к)
запись Л«5 означает, что |А| сВ запись Аж В означает, что сВ А С2.В; запись f(x) ~ д(х) означает, что lim = 1.

Введение
Аддитивные задачи с простыми числами
В двадцатых и тридцатых годах XX века Г. Харди, Дж. Литтлвуд и И.М. Виноградов развили общий метод в аналитической теории чисел, позволяющий вывести асимптотические формулы для числа решений многих аддитивных задач. С его помощью были решены тернарная проблема Гольдбаха, проблема Варинга, проблема Варинга с простыми числами и ряд других. Все эти проблемы были решены по схеме решения тернарной задачи, открытой И.М.Виноградовым.
В пятидесятых и шестидесятых годах XX века Ю.В. Линник разработал дисперсионный метод, с помощью которого ему удалось решить ряд бинарных аддитивных задач с простыми и полупростыми числами, которые не могут быть решены по схеме решения тернарной задачи. В частности, Ю.В. Линник дисперсионным методом доказал следующие теоремы:
Теорема (Проблема Харди-Литтлвуда с простыми числами). Если Q(n) — число решений уравнения
n = p + f + ri2,
где £ и г/ — целые числа, то для достаточно больших п верна асимптотическая формула:
од=»г- да+Щг) п +ад,
ln п р>2 р(р ~ рп Р Р~ Х4 (р)
где хІр) ~ неглавный характер по модулю 4 и
R{n) = 0(n(lnn)-1’028).
Доказательство см., например, в [1].
Теорема (Проблема Харди-Литтлвуда с полупростыми числами). Пусть Qi(n)— число решений уравнения
п = £2 + V2 +Р1Р2,

Заметим, что для и. имеет место оценка
~ < И < Р/с 1п2 п < Р1/с 1п3

Введем функцию
/М = + ~гп2)1/с = (р-)1/с(£ + т2)1/с,
гДе £ = ЙЬ 0 * < !
Вычислим ее производную:
/'(тг) = — —К + тгГ
Для случая , когда
н(Т)1/с
о < - --А - <
т-1/с Ю’
можно воспользоваться леммой 13 о приближении суммы интегралом. Получим:
/2ш4
5(ш4) = / е"х(>1/е({+та>1/е(*+*),/е* (44)
4ш4 ® 11
Далее будем считать, что > -[д.
Пусть сначала -Д > п°". Применим к 5(т4) схему И.М. Виноградова оценки дзетовой суммы (см., например, [16, с. 94-95]).

Пусть а — [тф]. Тогда
5(т4) = е2ш)1/Ч+т3+пь) + 200?,
т4<тз4С2т4
где в А 1, 1 и, V О.
Следовательно,
|5(т4)| ~ V |ИДт)| + 2а2,

т4<т2т4