Строение конечной группы и арифметические свойства ее неприводимых представлений

• Автор: Чанков, Евгений Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Содержание
1 Введение
2 Предварительные сведения
2.1 Теоретико-групповые сведения
2.2 Сведения из теории представлений
2.2.1 Начальные сведения
2.2.2 Индуцированные характеры
2.2.3 Теория Клиффорда
2.3 Неравенство Вигнера
2.3.1 Конечные пары Гельфанда
2.3.2 Условие Вигнера
2.4 Свойства ЛДД-групп
3 Разрешимость конечных Лй'Д-групп
3.1 Предварительные обсуждения
3.2 Вспомогательные результаты „
3.3 Свойства минимального контрпримера
3.4 ЛДД-группы с композиционным фактором, изоморфным группе Аг>
3.5 Лй1 Д-группы с композиционным фактором, изоморфным группе Ав
3.6 Доказательство разрешимости АЬ'Д'-групп
4 Строение конечных сверхразрешимых ,5'Д-групп
4.1 Формулировка результатов
4.2 Вспомогательные результаты
4.3 2'-холловы подгруппы сверхразрешимых Д Д-групп
4.4 Теорема о строении сверхразрешимых ДД-групп
4.5 2-силовские подгруппы сверхразрешимых ДД-групп
5 Некоторые классы ЛДД и ДД-групп
5.1 Формулировка результатов
5.2 ЛДД-группы нечетного порядка абелевы
5.3 ЛДД-группы Фробениуса
СОДЕРЖАНИЕ

5.4 5Д-группы регулярных автоморфизмов
6 Конечные р-группы
6.1 Предварительные обсуждения
6.2 Вспомогательные результаты
6.3 Конечные р-группы с 4 нелинейными неприводимыми характерами
6.4 Конечные р-группы с 5 нелинейными неприводимыми характерами
6.5 Конечные р-группы с 6 нелинейными неприводимыми характерами
6.6 А5Д-группы класса
7 Заключение
Список литературы
Публикации автора по теме диссертации
1. ВВЕДЕНИЕ

1 Введение
Постановка задачи и актуальность темы диссертации
Представление группы G не имеет кратностей, если оно разлагается в сумму неприводимых представлений группы G с кратностями, не превосходящими единицы. Группы, в которых любой элемент сопряжен со своим обратным, называются вещественными.
Просто приводимыми группами называются вещественные группы, в которых тензорное произведение любых двух неприводимых представлений не имеет кратностей. Будем говорить, что G является ЯД-группой, если группа просто приводима
Определение ЯД-группы было предложено лауреатом Нобелевской премии по физике Ю. Вигнером [43]. Условия для определения этого класса групп были сформулированы исходя из физических соображений. Например, отсутствие кратностей в произведении неприводимых представлений позволяет определить коэффициенты Клебша-Гордана с точностью до фазового множителя [15]. В работе [43] Ю. Вигнер показал, что для произвольной конечной группы G справедливо следующее неравенство
Е113<Е1Ы12, (*)
яес деа
где |М| — мощность множества М, vfg — {х G G | х1 = д}, Cdg) — централизатор элемента д. Конечная группа G является просто приводимой тогда и только тогда, когда вышеуказанное неравенство обращается для этой группы в равенство. Получаемое из (*) равенство называется условием Вигнера. Таким образом, проверка справедливости условия Вигнера позволяет дать ответ о простой приводимости конечной группы, не вычисляя представлений (или характеров) группы и разложении их тензорных произведений. В ряде случаев этот метод является эффективным. Например, принадлежность к классу ЯД-групп диэдральных и обобщенно кватернионных нетрудно показать с помощью условия Вигнера [10]. Тем не менее, в общем случае проверка условия Вигнера для конечной группы G является трудоемкой задачей.
1От английского “simply reducible, то есть “просто приводима.я”.
3.2. Вспомогательные результаты

3.2 Вспомогательные результаты
В следующих параграфах настоящей главы используются некоторые свойства произведений неприводимых характеров групп А-, и Ац. Необходимые сведения представлены в следующих четырех таблицах. В качестве исходного материала использованы таблицы характеров из [3].
Предложение 3.2.1. Таблица характеров группы А$ имеет следующий вид.
Таблица 1. Таблица характеров группы А$
0 (12)(34) (123) (12345) (12354)
VI 1 1
V2 3 -1 0 —а —а*
Яз 3 -1 0 -а* —а
V4 4 0
Яз 5 1
В верхнем ряду этой таблицы записаны перестановки группы А$, являющиеся представителями классов сопряженных элементов; через Яi (г £ {1
Предложение 3.2.2. Построим таблицу кратностей вхождения характера 775 в попарные произведения г]5 неприводимых характеров группы Д5. А имен-
но, {у}-ый элемент таблицы равен скалярному произведению [ЯгЯз, 775], где i,j £ {2
Таблица 2.
??2 Яз Я4 %
Я2 1
Яз 1
V* 1
Яь 1