Многогранники Ньютона, инкременты и корни систем матричных функций голоморфных представлений групп

• Автор: Казарновский, Борис Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 59 с.

Оглавление
1 Введение
2 Формулировки и комментарии
2.1 Конечномерные голоморфные представления комплексных групп Ли
2.2 Конечномерные голоморфные представления редуктивных
комплексных групп Ли
2.3 Усредненная асимптотическая плотность многообразия
корней системы функций экспоненциального роста
2.4 Асимптотические плотности алгебраических многообразий
2.5 Экспоненциальные суммы
2.6 Бесконечномерная формула Крофтона (формулировка и
пример)
3 Доказательства
3.1 Произвольные комплексные группы
3.2 Комплексные редуктивные группы
3.3 Преобразования Фурье
3.3.1 Шкала гауссовских мер
3.3.2 Усредненное распределение корней
3.3.3 Формула асимптотической плотности
3.3.4 Асимптотическая плотность и геометрия выпуклых

3.4 Бесконечномерная формула Крофтона
3.4.1 Конечномерная формула Крофтона . ,
3.4.2 Переход к повторному интегрированию
3.4.3 Сведение к случаю одномерных многообразий
3.4.4 Случай одномерных многообразий

Глава
Введение
В диссертации (основанной на публикациях [1], [2] и [3]) рассматриваются многообразия корней систем матричных функций голоморфных представлений комплексной группы Ли (матричная функция - ограниченная на рассматриваемую группу линейная функция на пространстве операторов представления). Нас интересуют свойства многообразий, зависящие только от выбранных представлений группы. Например, в случае алгебраических групп таким свойством является количество корней полной системы матричных функций общего положения.
Мы рассматриваем системы уравнений
Ма) = =/к{д) = о, (1.1)
где /1, ,/* - некоторые матричные функции голоморфных
представлений щ, , щ группы С Для таких систем ниже (в этом разделе) определена асимптотическая плотность многообразия решений и усредненная асимптотическая плотность, т.е. усреднение асимптотической плотности по всем системам уравнений вида (1.1), соответствующих фиксированному набору представлений группы (о конструкции усреднения см. замечание 1 в конце раздела, описание усреднения в бесконечномерной ситуации приведено в разд. 2.6).
Результат работы - вычисления усредненной асимптотической плотности. Эта плотность выражается через инкременты (определения 1 и 3 в разд. 2.1 и 2.2) участвующих представлений, а результаты вычислений формулируются на языке геометрии выпуклых тел, расположенных в пространстве, двойственном алгебре Ли группы в.
Здесь приведены вычисления усредненной асимптотической плотности в трех следующих ситуациях.

(в) (разд. 2.1) Конечномерные представления произвольных комплексных групп.
(И) (разд. 2.2) Конечномерные представления комплексных редук-тивных групп.
(Б) (разд. 2.3) Представления 7г# аддитивной группы пространства Сп (см. ниже), для которых преобразования Фурье обобщенных функций с носителями на компакте К С 11е Сп* являются матричными функциями. Здесь мы вычисляем усредненную асимптотическую плотность многообразия решений систем вида Д = = /*, = О, ще Д - преобразования Фурье обобщенных функций с носителями на фиксированных компактах АД
Модельные примеры для случая (в) - конечномерные представления комплексного тора и конечномерные диагонализуемые представления аддитивной группы Сп.
В первом случае (разд. 2.4) матричные функции - полиномы Лорана, весовые многогранники - многогранники Ньютона полиномов Лорана, а инкремент - опорная функция многогранника Ньютона. При к = п следствие теоремы 1 - выражение количества решений общей системы полиномов через смешанный объем их многогранников Ньютона [4].
Во втором случае (разд. 2.5) матричная функция - экспоненциальная сумма, весовой многогранник - ее многогранник Ньютона (это 2п-мерный выпуклый многогранник в пространстве Сп*), а инкремент - опорная функция такого многогранника. При к — п следствие теоремы 1 - выражение усредненной плотности множества корней систем экспоненциальных сумм через смешанный псевдообъем их многогранников Ньютона [1]. Описания этих примеров приведены в разделах 2.4 и 2.5.
В случае (в) определенная ниже в этом разделе асимптотическая плотность оказывается нулевой, если число уравнений больше ранга группы (рангом группы называют размерность ее картановской подалгебры). Отсюда, например, в случае С = 5Т(га, С) мы не получаем формулы для количества решений полиномиальной системы уравнений, аналогичной формуле Бернштейна [4]. С другой стороны, для редуктивных групп такая формула известна [10]. Поэтому в случае (II) приводится другое (в разд. 2.2), отличное от описанного во введении, определение асимптотической плотности (редуктивная асимптотическая плотность) и формула ее вычисления, содержательная при любом числе уравнений. При помощи такой формулы можно представить число

компактной группы Ли функция 1сТг (ехр(/—1(0) является
выпуклой на ее алгебре Ли.
Доказательство. При ограничении на картановскую подалгебру /3 получаем функцию вида
где х £ Р, ах > 0, а Л - конечное множество сопряженного пространства /3*, инвариантное относительно сопряженного действия группы Вейля. Эта функция, как легко проверить, выпуклая. Действительно, все слагаемые аргумента логарифма и логарифм каждого из них выпуклы. Отсюда следует выпуклость логарифма суммы. Остальное вытекает из предложения 3. □
Доказательство предложения 2. Утверждения (1), (5) и (6) - прямые следствия определений. Утверждения (2) - (4) вытекают из предложений 3 и 4. □
Доказательство теоремы 2. Прообраз формы усредненного распределения (2.3) при отображении £ ехр(11е£) ехр(1т£) равен
(здесь используется АГ-инвариантность эрмитовых метрик)
сИскТг ехр(2<І7Гі(]-ї,е £)) А Л сИскТг ехр(2£?7г*(11е £)). Поэтому
о>(тп,-" ,яъ) = Иш г{ц{(1(1со%Тг ехр(2йхі(ДеО)) А
і—»оо '
Дг((йс logTг ехр(2сЇ7Гіі(Ке £)).
отличие от общего случая) не коммутируют. При действии на функциях, не зависящих от мнимой части аргумента, верно следующее (легко проверяемое) тождество
кахехр<А,а:),
Отображение Гід не голоморфно, поэтому операторы (гхц)* и бйс (в
(ПдГсГ = с(пд )*.
Поэтому
оу(П) = Тг ехр(2Фгі(