Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций

• Автор: Клепачева, Анастасия Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 93 с. : ил

Оглавление
1 Введение
1.1 Актуальность темы. Предшествующие работы
1.2 Постановка задачи и основные результаты
1.3 Апробация работы
2 Вспомогательные сведения
2.1 Банаховы пространства
2.2 Дифференцируемые функционалы
2.3 Меры, измеримые функции и интегралы
2.4 Многозначные отображения. Обобщенные градиенты
липшицевых отображений
2.5 Обобщенные производные. Пространства Соболева.
Теоремы вложения
2.6 Симметричные и самосопряженные операторы
2.7 Некоторые сведения из термодинамики
3 Существование измеримого селектора
3.1 Доказательство предложения 1.
3.2 Вспомогательные леммы
3.3 Завершение доказательства теоремы 1.

4 Доказательство теоремы 1.8
4.1 Ограниченность приближенных решений
4.2 Доказательство теоремы 1.
4.3 Измеримость функции
5 Предельный переход по малому параметру
Литература

1 Введение
1.1 Актуальность темы. Предшествующие работы.
В настоящей работе исследуется разрешимость начально-краевой задачи для квазистационарных уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода. Предполагается, что среда заполняет ограниченную область О С с1 < 3, с границей класса С2. Ее состояние полностью характеризует-ся распределением температуры ^(хЛ) и набором параметров порядка <Рг(ж,£), I < г < п, х Е и.
Существование решений квазистационарных уравнений фазового поля в скалярном случае (п = 1) была доказана Плотниковым и Старовойтовым в [10] в предположении, что р удовлетворяет однородному условию Неймана, а д - условию Дирихле:
где О С (I — 2,3 - ограниченная область с гладкой границей, Ф(р) = у(р2 — I)2, у > 0 - некоторая константа, § - малый параметр. Было показано, что задача (1.1)-(1.3) имеет семейство решений, которые при & —У 0 сходится к решению капиллярной задачи Стефана. Последняя состоит в определении поля температур и поверхности
5? (г? + р) = Дг?,
(1.1)
г Дд ~ Ф'(р) - - 0.
(1.2)
где В - открытый шар единичного радиуса.
Пусть / - липшицевая функция в окрестности заданной точки ж, а и - произвольный вектор из X. Обобщенная производная функции / по направлению V в точке х определяется следующим образом:
где у - вектор из X, &t - положительное число.
Обобщенный градиент функции / в точке х, обозначаемый дф(х), есть множество всех линейных функционалов £ £ А'*, таких, что ф°(ху) > £(д) для всех V £ X.
Пусть У отображает А' в другое банахово пространство У. Обычная производная по направлению V в точке х определяется как
если этот предел существует. Говорят, что Г имеет строгую производную В8Р(х) в тючке ж, являющуюся элементом пространства У(АТ, У) непрерывных операторов из X в У, если для любого и £ А' существует предел
где сходимость является равномерной относительно V на любом компактном множестве. (Это последнее условие выполняется автоматически, если У - липшицевое отображение в окрестности х).
Говорят, что липшицевая функция / регулярна в х, если:
1) для каждого и существует обычная производная по направлению