Предельные множества, граничные свойства и устранимые особенности последовательностей функций

• Автор: Девятков, Антон Павлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Тюмень
• Количество страниц: 102 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ
§1. Понятие предельного множества последовательности функций
§2. Носитель простого конца последовательности областей как
предельное множество переменного конформного отображения
§3. Топологическая характеристика множества совпадения предельных
множеств последовательности функций и её предельной функции
§4. О точках непрерывной сходимости в процессе образования
функций первого класса Бэра
ГЛАВА 2. ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА 37 !
§ 1. Радиальные предельные множества последовательностей
аналитических функций
§2. Аналог теоремы Линделёфа для последовательностей функций
§3. Консервативные предельные множества
§4. О совпадении предельных множеств последовательностей
аналитических функций вдоль различных путей
§5. Множества максимальной неопределённости
последовательности функций
ГЛАВА 3. УСТРАНИМЫЕ ОСОБЕННОСТИ
§1.0 стирании особенностей для аналитических функций
§2. Устранимые множества для сходящихся последовательностей
аналитических функций
§3. О стирании особенностей для последовательностей
гомеоморфных отображений
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Л-''
Введение
Понятие предельного множества является основным инструментом при изучении разнообразных граничных свойств функций.
Это понятие впервые было введено П. Пенлеве в 1895 году для наглядной характеристики поведения аналитической функции в окрестности её особой точки. Будучи чисто топологическим, оно применимо к произвольным функциям в I пространствах любой размерности. Однако, имея ввиду прежде всего приложения к аналитическим функциям комплексного переменного, мы все рассмотрения будем проводить на плоскости. В современной терминологии понятие предельного множества описывается следующим образом.
Пусть в области D комплексной плоскости С задана комплекснозначпая функция w = f(z). Для некоторого подмножества А С D и точки zq G А , (черта означает замыкание) предельным множеством функции / в точке zq относительно множества А назовём совокупность С(/, А, zq) точек w , таких, что существует последовательность точек (.)Д, С А, lim z/; = zq,
k-ЛОО
для которой lim f(zk) — w.
к—>oo
Нетрудно показать, что предельное множество функции / представимо в виде
C(f,A,zü) = f]f(5pnA),

где (6p)P£i - произвольная фундаментальная система окрестностей точки

Классические теоремы Сохоцкого-Вейерштрасса, Пикара и Жюлиа можно рассматривать как теоремы о предельных множествах аналитической функции в её изолированной особой точке, теоремы Фату и Линделёфа - как теоремы о предельных множествах в граничной точке круга. '

Существенное развитие теория граничных свойств аналитических функций получила в первую треть XX века в работах П. Пенлсве, Ф.Иверсена, В. Гросса, В. В. Голубева, H.H. Лузина, И. И. Привалова, К. Каратеодори, В. Зейделя, А. Бёрлинга, Ф. и М. Риссов, Р. Неванлинны, А.И. Плеснера.
После некоторого затишья, длившегося примерно до 1950 года, теория предельных множеств стала вновь развиваться. В 60-е годы выходят монографии К. Носиро [28] и Э. Коллингвуда, А. Ловатера [18], посвященные предельным множествам. В работах этого периода помимо аналитических функций большое внимание начинает уделяться произвольным функциям. Значительный вклад в развитие теории предельных множеств внесли отечественные математики Е.П. Долженко, А.Г. Витушкин, В.И. Гаврилов, Г.Ц. Тумаркин, П.П. Белинский, И.Н. Песин и другие. Из иностранных ученых, работавших в этой области, можно назвать Л. Альфорса, О. Лехто, Л. Карлесона, Дж. Дуба, М. Оцука, Г. Маклейна. Обширная библиография, доведённая до 1971 года, содержится в обзоре [24].
Наряду с изучением граничных свойств отдельных функций многие исследователи рассматривали последовательности функций. Вопросами, связанными со сходимостью последовательностей аналитических функций занимались К. Каратеодори, П. Монтель, А.И. Маркушевич, А.Я. Хинчин, Г.Ц. Тумаркин, А. Островский, Г.Д. Суворов, Б.П.Куфарев.
В 1981 году В.И. Кругликовым [20] было введено понятие предельного множества последовательности функций. В статье [21] им были указаны некоторые применения этого понятия к исследованию граничных свойств последовательностей функций.
Целью данной диссертационной работы является изучение понятия

УЗ е С(ж3) с |у3 - у21 > £о/4, точку с3 € У2 П А и номер у3 > у2 с 1Л'з(сз) — 2/31 < 1/3. При этом, для непрерывной функции /у3 в некотором интервале 1*3 = (с3 — £3, с3 + £3), £3 < 1/3, входящем в Рг, при х е У3 П А выполнено
1Л'з(ж) ~ 2/31 < 1/3.
Продолжая подобные построения бесконечно, в итоге получим последовательность пересекающихся с А вложенных интервалов и0 Э У Э У2 Э с убывающими к нулю длинами, а также
последовательность точек (у}:)=1, ук+ — Ук > о/4,к = 1,2
1/л(*) -у*1 <

Рассматривая, наконец, множество р| V]- П А, состоящее из одной точки

а е А, согласно неравенствам уи+ — Ук > £о/4 и ]/д(а) — уь| < 1/Аг заключаем, что числовая подпоследовательность (/д(о;)).1 (а вместе с нею и вся последовательность (/;-(а))=1) расходится, а это противоречие мы и хотели получить.
Итак, в заключительной части доказательства теоремы мы считаем, что для отмеченного нами множества А из [о, 6] при всяком числе в > 0 и в каждом интервале II, II П А ф 0, найдётся интервал V С и,УПА0, такой, что сНатС'(ж) < е для всех точек х е V П А.
Ясно, что упомянутый интервал V можно выбрать ещё и сколь угодно малой длины и так, чтобы неравенство <ИатС(х) < £ имело место не только для всех точек х & V П А, но также и для точек х из замыкания УПА
Теперь совсем уж просто указать искомую точку жо £ А, в которой предельное множество С(Хо) = С(,А,Хо) вырожденно.