Исследование нелинейного взаимодействия волн во вращающемся океане методами гамильтоновского формализма

• Автор: Куркин, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 11.00.08
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 103 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Гамильтоновское описание нелинейного взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре в слое полу ограниченной вращающейся жидкости
1.1. Нормальные канонические переменные
1.2. Распадное взаимодействие волн Кельвина и Пуанкаре
Выводы к главе
Глава 2. Гамильтоновское описание нелинейных баротропных
волн Россби в приближении (3 - плоскости
2.1. Нормальные канонические переменные
2.2. Самовоздействие баротропных волн Россби
Выводы к главе
Глава 3. Гамильтоновское описание баротропных волн Россби
на сфере
3.1. Каноническая теория баротропных волн Россби на сфере
3.2. Эффекты слабонелинейного взаимодействия баротропных волн Россби на сфере
Выводы к главе
Заключение
Приложение
Приложение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
В последние годы гамильтоновский подход [1], обобщенный в работах [2], [3] прочно вошел в математический арсенал современной гидродинамики и зарекомендовал себя как мощный инструмент исследования разнообразных проблем динамики в широком круге приложений. Это объясняется не только действенностью аппарата канонических преобразований, позволяющего эффективно упрощать гамильтониан взаимодействия волн среды, оставляя в нем лишь существенные члены, но и инвариантностью ’’устройства” записанных в нормальном представлении гамильтонианов сред по отношению к физической природе последних, если общими оказываются их дисперсии и обусловленный ими характер взаимодействия волн, что позволяет легко придавать результатам, полученным для конкретной задачи, общефизический смысл. Зародившись в недрах классической механики дискретных систем и взаимодействуя с такими математическими дисциплинами как дифференциальная геометрия, теория групп и алгебр Ли, функциональный анализ и др., гамильтоновский формализм сейчас напоминает ветвистое дерево, широкая крона которого охватывает все новые и новые области приложения.
Новый этап в его развитии наступил около трех десятилетий назад, когда произошло осознание его общефизического значе-

ния. Стало ясно, что многие консервативные теории классиче-ской физики, механики и гидродинамики использующие концепцию поля, обладают скрытой гамильтоновской структурой. В их числе оказались и системы, описываемые уравнениями гидродинамического типа, имеющие важное приложение в океанологии. Решение вопроса о гамильтоновской структуре таких уравнений имеет два традиционных подхода. Во-первых, можно попытаться непосредственно угадать для той или иной системы полный набор канонических переменных, использование которых ведет к кардинальному упрощению вычислений и прояснению существенных моментов при изучении процессов взаимодействия волн в различных нелинейных средах. При этом автоматически решается проблема формулирования вариационного принципа. Однако следует отметить, что обычно гамильтонов-ские переменные выражаются через естественные физические переменные (скорость, давление) весьма нетривиальным образом.
Альтернативным путем является прямое нахождение выражения для скобок Пуассона в ”естественных” переменных. Это не дает возможность ввести вариационный принцип, но для ряда физических задач оказывается полезным. Развитию этих представлений посвящены работы Л.Д.Ландау [4], В.И.Арнольда [5], Дзялошинского и Воловина [6], а также С.П.Новикова [7]. Следует
со(кз) - частота волны Пуанкаре, а к и - соответствующие продольные волновые вектора, то выполняются условия (1.2.1), (1.2.2). Рассматриваемый процесс, таким образом, представляет собой вырожденный случай четырехволнового взаимодействия
щ{кх) + 0(&2) = (к4) + щ{къ) = и(кг) ,
в котором шо(к4) = со(1)5 0(5) = <0(2) и для которого гамильтониан взаимодействия имеет вид
щ = IЩккЪкь6 + ь-к4-къ)аыыыкь.
При этом укороченные уравнения Крылова-Боголюбова в приближении спектрально-узких волновых пакетов и заданной волны Пуанкаре, приведутся к виду
«1,2 = 1,2® 1,2 + 1,263(2,1)* + *"1,21«2,112«1,2 (1.2.8)
Здесь

1,2(о + «1)У4П2 + с2дз
- коэффициенты взаимодействия волны накачки Ь% с кельвинов-скими волнами,