Исследование силлогистических теорий средствами символической логики

• Автор: Маркин, Владимир Ильич
• Шифр специальности: 09.00.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 40 с.; 20х15 см

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования. Логика является одной из древнейших наук, которая как стройная система знания сформировалась уже в IV в. до н.э. в трудах выдающегося древнегреческого мыслителя Аристотеля. Ядром логической науки с момента ее возникновения и до настоящего времени является дедуктивная логика - учение о корректных способах рассуждения. Вплоть до середины прошлого столетия единственной детально разработанной дедуктивной логической системой была силлогистика - теория правильных выводов, посылками и заключениями которых являются атрибутивные высказывания (высказывания о факте или характере присущности или неприсущнос-ти свойства отдельному предмету или предметам некоторого класса).
Изучение силлогистики и по сей день считается необходимым элементом не только специального философского, но и гуманитарного образования в целом. Этот факт объясняется рядом обстоятельств как исторического, так и практического характера. Во-первых, силлогистика является первой в истории всей науки, а не только логики, аксиоматической теорией. Широко известная аксиоматическая система геометрии была создана Евклидом именно в духе тех принципов построения и исследования дедуктивных систем знания, которые сформулировал Аристотель применительно к силлогистике. Во-вторых, несомненно значение силлогистики в сфере философии. Оставаясь в течение долгого времени единственным строгим аппаратом дедукции, она во многом предопределяла характер и направленность исследований в области теории познания, выполняла существенную объяснительную функцию при решении гносеологических проблем, в частности, при анализе фундаментальных философских дистинкций содержательного и формального, дискурсивного и чувственного, рационального и иррационального, интуитивного и рассудочного.
Наконец, силлогистика отличается простотой, элегантностью и кажущейся самоочевидностью устанавливаемых в ней логических законов, формулировка которых осуществляется на языке, приближенном к естественному, без употребления какой-либо сложной специальной символики. Указанная особенность позволяет использовать силлогистику в качестве удобного средства приобщения широкого круга учащихся и специалистов к логической культуре, дает возможность познакомить их с основными логическими идеями, техникой логического вывода и наиболее фундаментальными понятиями логики -понятиями логического закона и логического следования.
Однако, несмотря на отмеченную простоту силлогистики в чисто прагматическом аспекте, при теоретическом ее исследовании возникает ряд весьма серьезных научных проблем, требующих зачастую нетривиальных решений. Часть их возникла еще в рамках традиционной логики в процессе освоения учения Аристотеля о силлогизме и при попытках его дальнейшего развития.

Так, в отличие от ассерторической силлогистики Стагирита (исследующей выводы из высказываний о присущем и не присущем), оказалась практически невостребованной научным сообществом его модальная силлогистика (где в сферу рассмотрения включаются высказывания о необходимо, возможно и случайно присущем и неприсущем). Сам Аристотель придавал особое значение именно модальной силлогистике, ее подробное изложение занимает большую часть первой книги "Первой Аналитики"; ассерторическая силлогистика рассматривалась им лишь как простейший, элементарный фрагмент модальной.
Однако последователи Аристотеля не смогли выяснить, какую трактовку модальных высказываний он принимал. В результате аристотелевская модальная силлогистика была объявлена ошибочной, взамен схоласты построили теорию, основанную на “принципе слабейшей посылки", более бедную, чем система Аристотеля. Даже в современной логике проблема удовлетворительной интерпретации модальной силлогистики Аристотеля долгое время оставалась нерешенной: не удавалось, в частности, найти подходящий перевод модальных высказываний в кванторные модальные исчисления. Лишь в последние 15 лет (в основном, усилиями российских и грузинских логиков) наметились перспективные подходы к адекватной экспликации аристотелевской модальной силлогистики.
Другой показательный пример связан с разработкой сингулярной и негативной сиплогистик - теорий, в которых допускается, что в состав атрибутивных высказываний входят не только общие положительные термины, но также, соответственно, единичные и отрицательные термины. Сам Аристотель не создал законченных систем сингулярной и негативной силлогистики. Тем не менее в его логических трактатах имеется ряд фрагментов, позволяющих судить об аристотелевской семантике высказываний с единичными и отрицательными терминами, содержатся явные указания на правомерность или неправомерность некоторых форм выводов из них.
Сформулированная в рамках традиционной логики сингулярная негативная силлогистика основывалась на принципах, существенно отличных от тех, которые выдвигал Аристотель. Эти отличия касались как синтаксических особенностей оперирования единичными и отрицательными терминами, так и принимавшихся условий истинности атрибутивных высказываний, что вело к оправданию способов рассуждений, отвергавшихся Аристотелем (например, правил превращения от отрицательных высказываний к утвердительным). Поэтому несомненный интерес представляет задача построения сингулярной негативной силлогистики, реконструирующей аристотелевский подход к введению в дедуктивную логику единичных и отрицательных терминов.
Впрочем, проблема адекватной экспликации встает даже применительно к базисной - чистой позитивной - части силлогистики Аристотеля (где на места
Первое аксиоматическое исчисление в данном языке было предложено В.А.Бочаровым. Он сформулировал систему чистой расширенной силлогистики АгС2, позитивным фрагментом которой является исчисление С2. В качестве современной логической теории, соотносимой с АгС2, В.А.Бочаров использовал не исчисление предикатов, а булеву алгебру. Им была доказана рекурсивная эквивалентность (т.е. взаимная погружаемость) силлогистики АгС2 и булевой алгебры.
В.А.Смирнов переформулировал систему Бочарова таким образом, что аксиомы С2 стали в точности составлять позитивную часть расширенной силлогистики. Исчисление С2Д ВАСмирнова, дедуктивно эквивалентное АгС2, задается посредством следующих постулатов:
А0-А7. Схемы аксиом С2 (см. Раздел I),
АД1. аар з ае~Р, АД4. ае(£+у) = (аер & аеу),
АД2. (ааа & ае~р) ю аар, АД5. ае~(Р*у) = (ае~р & ае~у),
АДЗ. (а«р)еу г> (у®а)ер, modus ponens.
Данную систему В.А.Смирнов сопоставляет с булевой логикой классов В (сформулированной в терминах отношения включения с, операций пересечения п, объединения и и дополнения '). которая является одним из способов представления множества законов, устанавливаемых в булевой алгебре. Помимо аксиом пропозиционального исчисления и правила modus ponens, В содержит следующие схемы аксиом:
В1. аса, В6. а." са,
В2. (аср & pczy) с асу, В7. асР' го рса',
ВЗ. (аср & асу) с асРпу, В8. апа'ср,
В4. (аср & усР) zo ас/усР, В9. (аоР)'са'иР'.
В5. аго(Риу)с(агор)с'(агоу),
Сравнение расширенной силлогистики С2Д и булевой логики классов В
осуществляется ВАСмирновым не в терминах погружающих операций, а
использованием понятия дефинициальной эквивалентности теорий.
Пусть Ti и Т2 - теории, сформулированные в языках с одинаковой грамматикой, но разными словарями. Пусть D-j - множество определений в теории Т2 терминов словаря Ti, отсутствующих в словаре Т2, a D2 - множество определений в теории Ti терминов словаря Т2, отсутствующих в словаре TY Теории Тт и Т2 называются дефинициально эквивалентными, если и только если существуют множества определений Di и D2l такие что дедуктивные замыкания классов TiuD2 и T2wDi совпадают.
В.А.Смирнов доказал теорему о дефинициальной эквивалентности теорий С2Д и В. Возникает вопрос, можно ли осуществить расширение до теории, дефинициально эквивалентной булевой логике классов, других систем чистой позитивной силлогистики.