Треугольный конечный элемент для расчета оболочек вращения с учетом смещений как жесткого целого

• Автор: Киселев, Анатолий Петрович
• Шифр специальности: 05.23.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 148 с. : ил.

3.7. Матрица жесткости треугольного конечного
элемента размером 54x54
3.8. Примеры расчета
4. ТРЕУГОЛЬНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ С ВЕКТОРНОЙ
АППРОКСИМАЦИЕЙ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
4.1. Матрица жесткости конечного элемента размером 54x54
с векторной аппроксимацией полей перемещений
4.2. Примеры расчета
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

тонких оболочек остается одной из актуальных проблем механики твердого деформируемого тела и представляет несомненный практический интерес.
Вопросам прочности тонких пологих и непологих оболочек посвящен ряд исследований отечественных и зарубежных ученых / 1,10,16,17,22,23,34,64,68, 91,97/.
Уравнения теории тонких оболочек довольно сложны /4,17,32,34,35/ и поэтому при решении практических задач часто используются приближенные и численные методы расчета / 16,47,56,57,65,68,72,93,94,96/.
Для исследования напряженно-деформированного состояния тонких оболочек среди других численных методов особую популярность приобрел метод конечных элементов (МКЭ), позволяющий достигать достаточно точных решений при расчете сплошных систем / 69,71,73,78,80,87/. Дискретная модель оболочки представляется в виде совокупности отдельных элементов, взаимодействующих между собой в конечном числе узловых точек, и проблема сводится к расчету упругой системы с конечным числом степеней свободы.
В сравнении с другими численными методами данный метод имеет ряд существенных преимуществ:
-возможность полной автоматизации с помощью электронно-вычислительных машин, процессов формирования матриц жесткости конструкций и решения систем линейных уравнений;
-легкость компоновки гибких алгоритмов расчета, позволяющих путем замены исходных данных изменять граничные условия и характер внешней нагрузки оболочечной конструкции;
- возможность учета физической и геометрической нелинейности оболочки, влияния температурных воздействий, возникающих в процессе эксплуатации.
Проблемы, связанные с учетом имеющихся в конструкции отверстий, переменной толщины и анизотропии материала при использовании МКЭ

становятся несущественными и решаются довольно просто в процессе общей вычислительной программы использования метода.
Цель работы заключается в совершенствовании математических алгоритмов формирования матриц жесткости высокоточных конечных элементов, используемых в расчетах на прочность тонких оболочек вращения, в разработке алгоритмов по учету смещений конечного элемента как жесткого целого для исследования напряженно-деформированного состояния конструкций из оболочек и внедрении разработанных алгоритмов в практику инженерных расчетов.
Научная новизна
Предложен новый вариант получения функций формы треугольного конечного элемента, представленных полными полиномами третьего или пятого порядков с использованием в локальной системе координат дополнительных смешанных производных высшего порядка с последующим выражением их через производные более низкого порядка методом конечных разностей.
Для учета смещений как жесткого целого в расчетах на прочность оболочечных конструкций предлагается использовать векторную аппроксимацию полей перемещений дискретного элемента, позволяющую учитывать смещения конечного элемента как жесткого целого без изменения его напряженно-деформированного состояния.
На основе предложенного способа аппроксимации разработан треугольный конечный элемент с матрицей жесткости размером 54x54, позволяющий решить проблему учета смещения непологих оболочек вращения как жесткого целого.
Практическая ценность заключается в разработке алгоритма и программного модуля формирования матрицы жесткости высокоточного
Выполнив преобразования (2.38) с учетом (2.10), получим
(3,5 + к )Й1 [М + -к2 ик.а . 2 д 1 п (2.39)
и г л г 2
Аналогично рассуждая можно получить производную в окружном направлении

Т + к
г У
а2+к5ап.
(2.40)
Деформация оболочки в произвольном слое меридионального направления на основании формулы (2.33) будет определена выражением
(2.41)
С учетом (2.34),(2.35) и (2.36) уравнение (2.41) примет вид

=Г|з,(1-а,)+(г5Д.
(2.42)
(2.43)
(1 - Л)+ Г - (3, (1 - Л ))2 /2.
Выполнив необходимые преобразования получим

Последним членом уравнения (2.43) можно пренебречь, как произведением малых величин, в итоге зависимость может быть представлена в виде
=3,(1-#,) (2-44)
Принимая во внимание (2.37) с учетом (2.10), (2.14) и (2.39) получим Б\ =м5 -к + {-к18и-2к:и 8 +2И2->г55)+

В теории тонких оболочек членами порядка <2(...) обычно пренебрегают ввиду их малости.
(2.45)