Математические модели плоских стационарных силовых полей в гетерогенных средах

• Автор: Обносов, Юрий Викторович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 262 с.

Содержание
Введение з
1 Двухфазные среды, разделенные кривыми второго порядка
1. Эллиптическое включение в однородной среде
2. Параболический случай
3. Составная среда с гиперболической линией раздела фаз
4. Задача о клине
2 Некоторые многофазные среды с круговыми и прямолинейными линиями раздела фаз
1. Концентрическая кольцевая (п + 1)- фазная структура
2. Задача о двух круговых включениях
3. Задача об асимметричном кольце
4. Об одной трехкомпонентной задаче
5. Задача о полукруговом включении, лежащем на границе
двух полуплоскостей
3 Решение задачи М-линейного сопряжения для прямоугольного шахматного поля
1. Постановка задачи
2. Решение в случае вещественных коэффициентов А,В
3. Случай комплексных коэффициентов А,В
4. Некоторые вырожденные и предельные случаи
4.1. Предельные случаи 0 < В < |А|
4.2. Случай квадратного шахматного поля
4.3. Периодическая слоистая среда со сдвигом

4.4. Правильный двухкомпонентный четырехлепестковый „веер”
5. Вычисление некоторых эффективных параметров прямоугольного шахматного поля
4 Бесконечная матрица с двоякопериодической системой прямоугольных включений
1. Постановка задачи
2. Решение в случае неотрицательных коэффициентов А,В
3. Решение задачи в эллиптическом случае для комплексных коэффициентов А,В
4. Частные, вырожденные и предельные случаи
4.1. Случай произвольных вещественных коэффициентов
4.2. Случай квадратных включений
4.3. Параллельно-слоистая структура
4.4. Периодическая система полуполос
5. Вычисление эффективных параметров периодической
системы прямоугольных включений
6. Анализ эффективных параметров П1НП и ДСПВ
7. Эффективное сопротивление одной фрактальной среды
типа ковра Серпинского
5 Правильное треугольное шахматное поле
1. Постановка задачи
2. Некоторые свойства решений
3. Решение полевой задачи для треугольного поля в случае
вещественных коэффициентов
4. Решение в случае комплексных коэффициентов А, В
5. Вычисление эффективных параметров треугольного поля в вещественном случае
Библиография

Введение
Основной задачей диссертации является точное описание пространственного распределения стационарных силовых полей в кусочнооднородных средах и определение их осредненных характеристик.
Начиная с пионерских работ Рэллея [144] и Максвелла [137] и особенно активно в последние десятилетия, в расчетах полей в неоднородных средах развиваются различные численные, асимптотические и вариационные методы. В первую очередь это связано с тем, что в общем случае для этой проблемы не существует аналитических методов, позволяющих построить ее точное решение. Асимптотические и вариационные подходы позволяют найти приближенные значения для эффективных параметров изучаемых композиционных материалов, а чаще границы изменения таких параметров. Подробная библиография, посвященная этому направлению, приведена, например, в монографиях Бахвалова, Панасенко [5], Олейник, Козлова, Жикова [44], Швидлера [117], Беара [121], Санчес-Паленсии [146] и работах Хашина, Штрик-мана [129], Лурье, Черкаева [72], Хонейна Е., Хонейна Т. и Хермана [142]. Безусловно, приближенные методы в решении прикладных задач теории гетерогенных сред играли и будут играть основную роль.
Однако, в ряде ситуаций нужна картина „тонкой” структуры поля в области контакта разнородных компонентов, которая может быть получена только на основе строгих аналитических решений. В диссертации разрабатываются методы комплексного анализа в применении к широкому кругу конкретных гетерогенных сред. Основа нашего подхода состоит в построении решений в терминах специальных функций, что позволяет проводить эффективный параметрический анализ полей, находить в явном виде осредненные характеристики и определять их экстремумы.
Соответствующие математические модели, построенные на базе тех или иных физических законов, описывающих конкретный процесс, обычно сводятся к системам интегральных уравнений или системам уравнений в частных производных. Классические модели опираются на линейные уравнения и предположение об однородности среды, в которой отыскивается поле. Естественно, такие модели могут оказаться довольно „грубыми”, поскольку они не учитывают некоторых „тон-

на случай, когда внесением такого инородного включения в бесконечный однородный пласт возмущено течение, определяемое произвольным комплексным потенциалом /(г). Эта задача хорошо известна, ее решение в различных частных случаях дано в работах [74], с.153, [16], [101], с.352, [102], с.20-21, [133]. Точнее говоря, во всех процитированных работах приведены лишь итоговые формулы, в достоверности которых читателю предлагается убедиться самостоятельно их подстановкой в исходные граничные условия. При этом вопрос о единственности этих решений вовсе не рассматривался. Приводимые ниже выкладки, не претендующие на оригинальность их итогового результата, дают весьма короткое и вместе с тем полностью математически обоснованное решение поставленной проблемы.
Обозначим через Р(г) функцию комплексно сопряженную с вектором скорости невозмущенного течения, т.е. Р(г) — /'{г). Будем предполагать, что число логарифмических особенностей и полюсов потенциала /(г) конечно и их нет на границе включения. При таком условии функция ТД-г) рациональна и для нее справедливо представление: Р{г) = РД-г) + ТфД), где каждая из функций Рр(г), р = 1,2, голоморфна всюду в комплексной плоскости за исключением конечного числа точек, расположенных в области Бр. В терминах скоростей задача сводится к построению кусочно-мероморфной функции у (г) = ур(г) = Рр(г) + Уро(г), г € 5р, р = 1,2, где Рр(г) = /р(г) - известная главная, а Уро(г) ~ неизвестная правильная часть функции Ур(г). Рациональная функция РДг) представляет из себя правильную дробь, являясь суммой простых дробей с полюсами во внутренних точках круга £>2. Следовательно, 7ф(оо) = 0. Функцию Р{г) можно представить в виде суммы полинома и правильной дроби, голоморфной в ТД. Правильная часть имеет на бесконечности ноль не ниже первого
порядка.
Для простоты рассмотрим лишь случай вещественных коэффициентов вида (9). Краевое условие в данном случае, как и выше в замечании 2, нам удобно записать в виде

1о(0 + 1(7) = 12(д2о(£) + ТДД)) + В 12(т2о(7) + 7?2(7)), |£| = г.