Теоретическое и численное исследование одной модели слоистых структур

• Автор: Семенко, Роман Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 158 с. : ил.

1 Построение математической модели электрогидродинамики слоистых диэлектриков
1.1 Предварительные сведения
1.2 Гидродинамика анизотропных слоистых диэлектриков
1.3 Математическая модель слоистых диэлектриков в электрогидродинамическом приближении
2 Исследование устойчивости ударных волн в слоистых структурах
2.1 Линеаризация уравнений электрогидродинамической модели слоистого диэлектрика
2.2 Исследование задачи Коши для слоистых структур
2.3 Сильные разрывы в слоистом диэлектрике
2.4 Некорректнось задачи об устойчивости ударных волн
3 Электродинамическая неустойчивость слоистых систем
3.1 Исследование задачи об электродинамической неустойчивости слоистых систем
3.2 Доказательство теоремы 3.1
3.3 Численное исследование параметрического резонанса в слоистых
структурах
Заключение
Приложение А
Приложение В

Известно, что проблема повышения отдачи нефтяных пластов имеет важное значение для современной энергетики. Трудность решения этой проблемы заключается в том, что в процессе эксплуатации в трещиноватых зонах коллекторов формируются водонефтя-ные слоистые системы, которые, блокируя транспортную структуру коллекторов, выводят значительные нефтеносные области из режимов водного вытеснения. Восстановление проницаемости коллектора возможно лишь в условиях разрушения слоистых водонефтяных структур. Главной целыо данной диссертации является обсуждение некоторых возможных способов разрушения этих слоистых структур, используя "уравненческий" подход.
Прежде всего для исследования этой проблемы необходимо построить математическую модель, которая с достаточной точностью будет описывать гидродинамику слоистых структур. По своей природе эти слоистые структуры представляют из себя смесь воды, нефти и газа. Анизотропные жидкости разнообразной слоистой структуры по принятой терминологии относят к категории смектических жидких кристаллов (смектиков). Для моделирования подобных систем Л.Д. Ландау был предложен так называемый континуальный подход [1, 2, 3]. Слоистые структуры рассматриваются как односкоростной слоистый континуум. Предполагается, что в равновесии все слои параллельны, ось координат 2 направлена вдоль нормали к равновесному расположению слоев. При отклонении от равновесия форма слоев может изменяться, поэтому при макроскопическом описании смектиков нужно ввести вектор смещения слоев, который имеет одну компоненту и и направлен вдоль оси г, так как смещение слоя имеет смысл рассматривать только в направлении нормали к нему. Также вместо вектора смещения можно ввести числовую

функцию XV, которая определяется как явное выделение каждого отдельного слоя, то есть
задает положение пространстве и эволюцию во времени некоторого смектического слоя. Другими словами,
Здесь х — {х,Х2,Хз) = (х,у,г) — радиус-вектор, £ — время, в — параметр, идентифицирующий слои. В силу определения функции уо ее градиент ’Чхп направлен вдоль нормали к смектическому слою. Таким образом, единичный вектор нормали к слою задается выражением
Теорию упругости смектиков можно построить на основе квадратичного разложения плотности энергии [1]:
Здесь В, N — некоторые постоянные, которые с физической точки зрения являются модулями упругости смектика. Примечательно, что второй член в разложении имеет большую степень производной, чем первый. Законным его введение делает тот факт, что в разложении отсутствует слагаемое, пропорциональное (|^ + |^)2. Эти производные и не могут входить в разложение энергии, поскольку если повернуть тело как целое вокруг осей х я. у, то эти производные изменятся, между тем как энергия должна остаться неизменной. Физически отсутствие этих производных означает, что слои могут жидко проскальзывать друг относительно друга.
Для исследовния нелинейных эффектов в смектиках необходимо знать следующие за квадратичными члены разложения энергии по
ю(х, Д = сопз!
хи(х, £) = в.
(0.0.1)
Замечание 1.3.1 Влияние пондеромоторных сил, т.е. сил, действующих со стороны электрического поля на слоистую структуру, в которой происходит поляризация, осуществляется в уравнениях (1.3.17(1) через слагаемое УрХг.
Замечание 1.3.2 Закон сохранения энергии (1.3.16(1) является следствием всех остальных законов сохранения.
В самом деле, с учетом (1.3.13) имеем
Подставляя в правую часть выражения (1.3.20) производные
мы в итоге получаем закон сохранения энергии (1.3.16(1).
Таким образом, построена математическая модель электродинамики слоистых структур с точностью до К
(1.3.20)
др ди дв дЬ д(Аьи)
дУ дУ дУ дУ ді