Численные методы расчета безарбитражных цен американских опционов в математических моделях финансовых рынков

• Автор: Ромаданова, Мария Михайловна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 148 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Модели финансовых рынков и 'задача отыскания безарбит-ражных цен американских опционов
1.1 Финансовые рынки и арбитраж, цены американских опционов
1.2 Модель Влэка-Шоулса
1.3 Модель с диффузией и скачками
1.4 Модель с переключениями
1.5 Обобщенная модель Хестона
2 Численные методы расчета цен американских опционов, основанные на решении уравнений в частных производных
2.1 Численный метод решения системы конечномерных неравенств
2.2 Метод подвижной границы
2.3 Метод штрафов
2.3.1 Модель Влэка-Шоулса
2.3.2 Модель финансового рынка с диффузией и скачками
3 Аналитические и численные методы расчета цен американских опционов, основанные на вероятностном подходе
3.1 Аналитические методы расчета цен бессрочных американских опционов
3.1.1 Цена бессрочного американского опциона в модели Влэка-Шоулса
3.1.2 Цены бессрочных американских опционов в моделях тина Мертона
3.2 Расчет цен американских опционов с конечным сроком действия в Б-Ш-модели

3.3 Расчет цен американских опционов в модели с диффузией и скачками
3.4 Расчет цены американского опциона в модели с переключениями
3.4.1 Безарбитражная цена бессрочного американского опциона в модели с переключениями
3.4.2 Цена американского опциона с конечным сроком исполнения
3.5 Расчет цен американских опционов в модели Хестона
3.5.1 Расчет цены бессрочного американского пут-опциона
3.5.2 Американский нут-опцион с конечным сроком исполнения в модели Хестона
Заключение
Литература
Приложение
А Необходимые сведения из теории стохастических дифференциальных уравнений
В Аналитические и численные результаты

Введение
Диссертация посвящена исследованию различных моделей финансовых рынков и разработке аналитических и численных методов расчета цен одного из наиболее популярных классов производных ценных бумаг, а именно расчету цен американских опционов.
Актуальность работы. Финансовые рынки за последние десятилетия стали оказывать существенное влияние на жизнь государства и общества как в отдельно взятой стране, так и, вследствие глобализации, на жизнь мирового сообщества. Положение на финансовых рынках влияет на экономику, на социальную жизнь, на развитие науки и техники и т.д. Поэтому понимание структуры финансовых рынков и их развития играет все более важную роль, что свидетельствует о необходимости их серьезного изучения и построения адекватных моделей.
Математическое описание финансовых рынков, разработка моделей их функционирования, и методов расчета стоимости финансовых инструментов являются важной задачей финансовой математики.
С математической точки зрения расчет цен американских опционов сводится к решению различных краевых задач для уравнений в частных производных. В частности, при этом возникает задача со свободной границей -одна из наиболее сложных краевых задач для эллиптических или параболических уравнений или систем второго порядка, а также задача Коши. Наряду с этим, в зависимости от модели, мы сталкиваемся с необходимостью решения соответствующих задач для интегро-дифференицальяых уравнений и систем. При решении этих задач возникают как различные теоретические вопросы, так и технические и практические вопросы. К теоретическим вопросам мы относим доказательство существования и единственности решения рассматриваемой задачи в том или ином функциональном классе и интерпретацию неклассических решений. К техническим и практическим вопросам мы от-

уравнению в частных производных (уравнению Блэка-Шоулса):
Вместе с условием (1.2.11), мы можем сделать вывод, что
(1.2.13)
С другой стороны, цена американского пут-опциона всегда выше внутренней стоимости К — 5 при 5 > Б*{£) и равна внутренней стоимости при в < 5* (4), то есть
Можно соединить эти два неравенства (1.2.13) и (1.2.14) в следующее уравнение
тогда либо одна, либо другая скобка становится равной 0, когда в либо выше, либо ниже границы £*(£). Неравенства (1.2.13), (1.2.14) и уравнение (1.2.15) вместе составляют линейную двойственную задачу для вычисления цены американского нут-опциона. Соответствующая линейная двойственная задача для американского колл-опциона имеет похожий вид.
Для колл- и пут-опционов линейная двойственная задача может быть записана в общем виде
в) < О, (іДі, 5) - ф(в)) > о, (£іД£, з))(іД£, в) - Ф(в)) - 0, (1.2.16)
с начальным условием Р(Т, в) = Ф(в).
После выполнения замены переменных (1.2.10) цена американского опциона может быть найдена как решение следующей линейной двойственной задачи
(1.2.14)
1 Л2р ЯР
~т+2а з + {г~5)з-д1'гР Р-(*-*)] = о. (1-2-15)
Ьіґ(і,х)<0, (/(£, х)—ф{х)) > 0, = 0, (1.2.17)