Математические модели и метод коллокации в теории слабонаправляющих диэлектрических волноводов

• Автор: Фролов, Александр Геннадьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 185 с. : ил.

Оглавление
Введение
ГЛАВА 1. Задачи о собственных волнах слабонаправляющих волноводов в однородной среде, полупространстве и слоистой среде
§1. Постановки задач
§ 2. Локализация собственных значений
§ 3. Интегральные представления собственных функций
§ 4. Дискретность характеристических множеств и зависимость характеристических значений (3 от параметра ш
§ 5. Существование поверхностных волн
ГЛАВА 2. Метод коллокации решения спектральных задач для двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений
§1. Метод коллокации решения линейных задач
§ 2. Численное решение задач о поверхностных волнах
§3. Метод коллокации решения нелинейных задач
§ 4. Численное решение задач о вытекающих волнах
§ 5. Программный комплекс
Приложение
Литература
Введение
Для оптоэлектроники последние годы характерны изучением и техническим освоением миниатюрных интегральных оптических схем (при изготовлении которых используются нано-материалы [43]) вместо классических электрических [21] и бурным развитием оптических телекоммуникационных технологий передачи данных на большие расстояния [52]. В проектировании и анализе современных оптических волноводных структур важную роль играет математическое моделирование и применение средств вычислительной техники [84]. На этом пути возникают задачи теории диэлектрических (оптических) волноводов [54].
Задачи о собственных волнах диэлектрических волноводов являются задачами поиска частных решений уравнений Максвелла в виде бегущих волн в неограниченных областях, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах раздела сред и соответствующим условиям на бесконечности [18], [53]. В диссертации задачи о собственных волнах диэлектрических волноводов, находящихся в однородной среде, полупространстве и плоско-слоистой среде, решаются в скалярном приближении слабонаправляющих волноводов [54]. Несмотря на относительную простоту, это приближение широко используется при математическом моделировании оптических волноводов (см., напр., [9], [18], [30], [35], [36], [54]).
Наиболее полная информация получена о решениях относительно простой задачи о собственных волнах волновода кругового поперечного сечения с постоянным показателем преломления, находящегося в однородной окружающей среде [54]. Хорошо изучены свойства поверхностных собственных волн такого волновода. Собственные функции задачи (амплитуды собственных волн) в этом случае отвечают ко-
нечному числу собственных значений (постоянных распространения), принадлежащих ограниченному интервалу вещественной оси. Отличительными особенностями поверхностных собственных волн являются экспоненциальное убывание на бесконечности их амплитуд и симметричность соответствующего дифференциального оператора.
В работе Б.З. Каценеленбаума [34] на основе анализа характеристического уравнения, полученного методом разделения переменных, было доказано существование другого типа собственных волн цилиндрического диэлектрического волновода кругового поперечного сечения с постоянным вещественным показателем преломления. Они получили название вытекающих. Вытекающие собственные волны имеют экспоненциально возрастающие на бесконечности амплитуды. При рассмотрении задач о вытекающих собственных волнах возникают несамосопряженные дифференциальные операторы, а соответствующие постоянные распространения являются комплексными.
Важно отметить, что, как было доказано в работе [34], постоянные распространения собственных волн указанных двух типов непрерывно зависят от радиуса волновода, показателей преломления волновода и окружающей среды, частоты электромагнитных колебаний. С их изменением собственные волны могут трансформироваться из одного типа в другой.
Несколько десятилетий значительные усилия исследователей были направлены на построение алгоритмов расчета поверхностных собственных волн. Разработано большое количество методов, приспособленных для областей специальной формы. Так, для расчета диэлектрических волноводов неоднородного заполнения с поперечным сечением, близким к круговому, широкое применение нашли лучевой метод, метод нормальных волн и асимптотические методы [17], [54]. Известно точное решение задачи о собственных волнах однородного диэлектрического волновода эллиптического поперечного сечения,

При любом фиксированном значении со > 0 функция из класса Vа может, как убывать, так и неограниченно возрастать на бесконечности. Это зависит от того, какой области римановой поверхности Л принадлежит соответствующая постоянная распространения (3.
Следуя [18], с. 24, опишем поверхность Римана Л и приведем классификацию собственных функций задачи (А). Поверхность Л состоит из бесконечного числа листов и имеет две точки ветвления (3 = сЬкПоо. В силу того, что функцию х{Р) саму следует рассматривать как однозначную на двулистной поверхности Римана, поверхность Л состоит из бесконечного числа листов римановой поверхности логарифма Лт, где т — 0, ±1
Обозначим символом главный («физический») лист римановой поверхности Л, который определяется следующими условиями:
7г/2 < аг§х(/3) <37г/2, 1т (*(/?)) О, (3 е Л. (10)
С листом соединяется лист Лд2 который называется «нефизическим» и определяется следующим образом:
-тг/2 < ад(/3) <Зтг/2, 1т (х{Р)) <0, /3 е Л{,2). (11)
Лист соединен с листом Ад1'1 вдоль разреза, выбранного в соответствии с условием 1т(х(Р)) = 0 на Ад, т. е. проходящего по мнимой оси и интервалу (—кп00, кп) вещественной оси.
Теперь приведем классификацию собственных функций (собственных волн). В задачах о собственных функциях слабонаправляющих волноводов принято различать поверхностные и вытекающие собственные волны (см., [18], с. 26). Обозначим вещественную ось листа Ад1-1 символом Кд1. Вещественным /3 £ Жд1'* таким, что (3 > кп отвечают поверхностные волны.