Математическое моделирование динамики управляемых систем

• Автор: Десяев, Евгений Васильевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 137 с.

Оглавление
Введение
Глава 1 Управляемость линейными системами
1.1 Управляемость и построение программных движений
в линейных системах за конечное время
1.2 Управляемость и построение программных движений
в линейных системах за бесконечное время
1.3 Задача управляемости за бесконечное время для линейных
систем с постоянной матрицей
Глава 2 Асимптотические методы исследования математических моделей
2.1 Метод сравнения и асимптотика решений
2.2 Асимптотическая эквивалентность и гомеоморфизм начальных
условий
2.3 Приложение метода асимптотической эквивалентности к исследованию математических моделей
Глава 3 Метод сравнения и управляемость нелинейных математических моделей
3.1 Синтез управления для систем близких к линейным
3.2 Существование программных движений для систем типа Липшица
на полуоси
3.3 Построение программных движений для нелинейных систем за конечное время
Глава 4 Моделирование динамики управляемых систем
4.1 Приведение механической системы к нормальному виду
4.2 Устойчивость программных движений
4.3 Численные методы построения программного управления для механических систем
4.4 Описание функциональных возможностей разработанного программного комплекса
4.5 Моделирование динамики управляемого движения космического
аппарата
Список литературы
Приложение

Введение
В последние десятилетия особый интерес ученых и конструкторов проявляется к исследованию возможности построения космических аппаратов, в которых в качестве тягового двигателя используется импульс, получаемый аппаратом в результате действия сил светового давления. Такой интерес вполне объясним, поскольку в этом случае существенно повышается автономность функционирования космических аппаратов (КА) или космических станций. Имеется большое количество работ по управлению геоцентрическим и гелиоцентрическим движением КА с помощью солнечного паруса (обзоры этих работ содержатся в [96, 99]), а также по управлению вращательным движением. Однако, несмотря на очевидные выгоды, использование сил светового давления в реальной практике космической навигации имеет весьма серьезные препятствия. Во-первых, силы светового давления несравнимо меньше не только реактивных сил, вырабатываемых современными двигателями, но и некоторых возмущающих факторов, например, атмосферных воздействий для спутников с низкими орбитами. Это приводит к необходимости рассматривать солнечные паруса с большой площадью. Но тогда возникает другая трудность. Управление такими парусами, в частности развертывание в космическом пространстве паруса большой площади - сложная техническая проблема [98]. Поэтому весьма интересным является рассмотрение таких космических проектов с использованием сил светового давления, когда силы, действующие на КА или космическую станцию, относительно малы, и при этом не требуется управляемого поворота протяженных элементов как, например, в случае, если в качестве управляющего параметра взять отражательную способность КА, которую можно изменять. Одним из таких проектов является исследование орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации под действием гравитационных сил, сравнимых по величине с силами светового давления на КА с достаточно большой отражательной способностью [104] (вполне доступной для реализации при современном состоянии космических технологий). Поэтому весьма перспективной в смысле практической реализации и актуальной является задача об управлении орбитальным движением КА в окрестности первой коллинеарной точки либрации Ь с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце.
Математическую постановку такой задачи в 70-х годах предложил М.Л. Лидов [48], [49]. Данный проект очень интересен с практической стороны. Первая внутренняя коллинеарная точка либрации Ь, определенная в рамках круговой задачи трех тел, находится на отрезке Солнце-Земля на расстоянии около 0,01 а. е. (примерно 1,5 млн. км) от центра Земли. Данная область пространства, обладая замечательными теоретическими

u(t, x) — — ( exp
Выполняя последовательно замены переменных, описанные выше, получим управление
Т-К+ТТ
При полученном управлении и(£, х) уравнение движения имеет вид ах х , ехР(1-т)
| 7
dt (1 + t)2 , и,
ехр (J_ _ Лх + ехр - ш)
6 PV« + 1 J2(1 + t)V (1+4)3 '
Общее решение которого имеет ВИД
,,, = ехР I1 - ш) , V + с.
W 2(1 +1)2 i + 1 '
Независимо от начальных данных (to, xq) , каждое решение полученного уравнения обладает свойством
lim x(t) = у*,
t— “{“ОО
то есть построенный синтез управления u(t, х) переводит произвольную точку хо G R в фиксированную точку у* G R за бесконечное время.
Заметим, что процесс построения управления за бесконечное время аналогичен процессу построения управления за конечное время. Поэтому объединим результаты построения синтеза управлений теоремою.
Теорема 1.2.1. Пусть дана линейная управляемая система (1.2.1), определенная на промежутке [0,Т], где Т > 0- фиксированное число, либо Т — Too, и соответствующая фундаментальная матрица системы (1.2.2) удовлетворяет условию dety-1(T) ф 0.
Если существуют матрицы Aq1{T) и (Ао(£) - Ло(Т’))-1 при всех 0 < t < Т, где матрицы Ao(t) и Aq(T) определены формулами (1.2.7), (1.2.8), тогда управление u(t,x), имеет вид (1.2.13) и переводит произвольную тючку х € К. в фиксированную точку у* G К за время Т — t.
Следствие 1.2.1. Пусть существуют матрицы Т_1(Тоо), dety-1(Too) ф 0, Ло1(Тоо) и (Ао(£) — Ао(Тоо))-1 при всех t > 0, (где матрицы Ао(£) и А0(Тоо) определены формулами (1.2.7)), и у* = 0, то система (1.2.1) асимптотически устойчива при управлении u(t,x), определенном формулой (1.2.13).