Корреляционные функции случайных точечных процессов, связанных с бесконечной симметрической группой

• Автор: Бородин, Алексей Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 60 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Корреляционные функции — общий подход (теорема Б) §0. Постановка задачи §1. Предварительные сведения §2. Теорема Б §3. Метод
§4. Правило Мурнагана-Накаямы
§5. Упрощение проблемы моментов
§6. Три операции над обобщенными функциями
§7. Решение упрощенной проблемы моментов
§8. Существенные структуры
§9. Доказательство теоремы 2.1 (теоремы Б)
§10. Отсутствие кратностей
Глава 2. Детерминантная структура корреляционных функций, ядро Уиттекера (теоремы А и В)
§1. Общий формализм (теорема В)
§2. Спетральные меры тг и процессы Р'
§3. Распределение Іі(г,з)
§4. Ядро Уиттекера (теорема А)
Глава 3. Мультипликативные распределения на графе Шура (теорема Д)
§1. Введение
§2. Граф Шура. Планшерелевское распределение
§3. Мультипликативные распределения. Существование
§4. Мультипликативные распределения. Единственность
Введение
Рассмотрим множество разбиений натурального числа п, или, что то же самое, множество диаграмм Юнга с п клетками, и обозначим его через Диссертация посвящена изучению случайных точечных процессов, являющихся пределами некоторых вероятностных распределений на множествах Yn при п —» оо.
Вероятностные распределения на Y„, т.е. случайные разбиения или диаграммы Юнга, рассматривались с разных точек зрения многими авторами, см., например, [4], [5], [7], [8], [9], [И], [12], [13], [17], [24], [29], [32], [33], [34], [35].
В асимптотических задачах для случайных разбиений часто выполняется закон больших чисел: почти все разбиения большого числа п оказываются асимптотическими одинаковыми, что приводит к предельным кривым (работы Логана-Шеппа [35], Вершика-Керова [4], [7] о росте диаграмм Юнга, распределенных по мере Планшереля). Менее изучены ситуации, когда закона больших чисел нет, и предельным объектом является мера с бесконечномерным носителем.
Именно такая ситуация и рассматривается в диссертации: предельная мера определена на некотором пространстве локально конечных точечных конфигураций и, тем самым, может интерпретироваться как случайный точечный процесс. Наиболее известным примером точечного процесса, возникающего из случайных разбиений, является процесс Пуассона-Дирихле. С разных точек зрения им занимались многие авторы: Вершик-Шмидт [8], [9], Ювенс [24], Уоттерсон [43], Гриффитс [26], [27], Питман [39], [40], Кингман [33], [34], и др. Точечные процессы, изучаемые в диссертации, оказываются значительно сложнее, чем процесс Пуассона-Дирихле.
Рассматриваемые в диссертации точечные процессы возникли в связи с работой Вершика, Керова и Ольшанского [31] о гармоническом анализе на бесконечной симметрической группе.
Пусть S(n) — симметрическая группа степени п, S(оо) = U„>i5'(n) — бесконечная симметрическая группа, состоящая из финитных перестановок натуральных чисел. Введем обозначения
G = 5(оо) х iS'(oo),
К = diagS'(oo) = {(д,д) Е Gg Е Д(оо)} С G.
Пара (G,K) является парой Гельфанда [36]. Несложно показать, что регулярное представление Тгед группы G в пространстве £2(S(oо)), заданное формулой
(:Treg{g,h)f)(x) = f{g~lxh),
неприводимо (это следует из того, что все классы сопряженности группы S'(oo), не содержащие единицу, бесконечны). Этот факт резко контрастирует с ситуацией

для конечных и компактных групп, где разложение регулярного представления на неприводимые играет исключительно важную роль.
В 1993 году А. М. Вершик, С. В. Керов и Г. И. Ольшанский [31] предложили конструкцию “обощенных регулярных представлений” Тг группы G, параметризуемых комплексным параметром г. При z —¥ оо эти представления аппроксимируют стандартное регулярное представление, описанное выше. Представления Т- для конечных г оказываются приводимыми. Нашей основной задачей будет описание разложения обобщенных регулярных представлений на неприводимые.
Мы следуем [31] в описании конструкции этих представлений ниже.
Предложение (Theorem 1.1, [31]). Существует единственное отображение рп : S(n) -> S(n— 1), коммутирующее с двусторонним действием группы S(n~ 1) на S(n) и S(n — 1).
Отображения рп называются каноническими проекциями. Определим проективный предел X = projlim5(ra) относительно этих проекций. Это компактное топологическое пространство, содержащее £(оо) как всюду плотное подмножество. Элементы пространства X называются виртуальными перестановками.
Правое действие группы G — 5(оо) х 5(оо) на S(oo) может быть продолжено до непрерывного действия группы G на пространстве X виртуальных перестановок.
Для всякого £ > 0 обозначим через р” вероятностную меру на S(n) такую, что /*?({*}) =*М/(*)», где через [ж] обозначено число циклов перестановки х £ S(n), (t)n = £(£ + 1)... (£ + п — 1) — символ Похгаммера. При £ = 1 эта мера совпадает с равномерной вероятностной мерой на S(n).
Предложение (Theorem 1.3, [31]). Зафиксируем £ > 0. Тогда рп(р") = р”-1 для всех п = 1,2
Можно показать, что меры pt, £ > 0, попарно дизъюнктны (Theorem 1.4, [31]).
Действие группы G на X обладает замечательным аддитивным 1-коциклом с : X х G —» Z, который определяется равенством с(х,д) = рп(хд) — Рп{х), гДе п настолько велико, что д £ G(n). Имеет место равенство
pt{d(xg)) — tc(~x'9)pt(dx), t > 0, х £ X, д £ G. (1.1)
Возьмем z £ С {0} такое, что £ = |z|2. Благодаря (1.1), мы можем определить унитарное представление Тг группы G в гильбертовом пространстве TL = L2(X,pt) формулой
(Tt(g)f)(x) = х £ X, g£G, f £ П. (1.2)

Предложение 1.1. Пусть xi
52 (‘PHd)(xi
(1.5)

' J N(x,s)w(s,y)ds,
х, у > 0.

N(x,y),
х > 0, у < 0,
К{х,у) — < jj w(x, r)N(r, s)w(s, y)drds —w{x,y), x < 0, у > 0,
J w(x,r)N(r,y)dr,
x,y < 0.

Теорема, В является прямым следствием теоремы Б и этого предложения.
Замечание 1.2. Следует отметить, что выражение det[K(xi,xj)]f j=1, вообще говоря, не имеет смысла для произвольной обобщенной функции К(х,у). Например, при п = 1 мы имеем К(х, ж), что не определено для произвольного распределения К. Однако, в нашем случае предложение 1.1 следует понимать как специальный способ переписать левую часть формулы (1.5), которая корректно определена в силу замечания 2.2 главы 1. Иными словами, если мы раскроем определитель det [Л'(ж,-, Xj) и воспользуемся записью К через N и w, то после перегруппировки слагаемых мы получим левую часть (1.5).
Кроме того, если N(x,y) является регулярной обобщенной функцией, то ядро К есть обычная функция от двух переменных, и правая часть (1.5) корректно определена. Такая ситуация возникает при рассмотрении процессов Vz, связанных с обобщенными регулярными представлениями, см. §4 ниже.
Доказательство предложения 1.1. Доказательство состоит из пяти шагов.
Шаг 1. На множестве $U)<2 имеется естественное действие симметрической группы 5(d), состоящее в перестановках пар (гД1) для i = 1
Шаг 2. Подставим выражение (1.4) в (1.5) и раскроем все определители. Тогда все возможные слагаемые будут параметризоваться тройками (d,ip,a), где <р есть орбита группы 5(d) в Фп,а, а. а £ S(d) параметризует разложение определителя из (1.4). Мы можем также рассматривать а как биективное отображение множества {1,2