Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе квазигидродинамических уравнений

• Автор: Ключникова, Анна Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Глава I. Методы численного моделирования задач гидродинамики
1.1. Обзор методов решения уравнений Навье-Стокса
1.2. Квазигидро динамическая модель
Г лава II. Методы численного решения КГД-системы
2.1. Общая схема решения
2.2. Разностная аппроксимация системы уравнений и явный метод решения уравнений переноса
2.3. Неявный метод решения уравнений переноса
2.4. Метод решения уравнения Пуассона
2.5. Метод приближенной факторизации сопряженных градиентов
Г лава III. Апробация метода
Введение
3.1. Задача о течении жидкости в канале
3.2. Тепловая конвекция в квадратной области, вызванная горизонтальным градиентом температур
3.3. Тепловая конвекция при малых числах Прандтля
3.3.1. Результаты расчетов для Я-В случая
3.3.2. Результаты расчетов для Ы-Р случая
3.4. Задача о конвекции Марангони
Глава IV. Моделирование термокапиллярной конвекции в процессе бестигельной зонной плавки в условиях невесомости
4.1. Введение
4.2. КГД-система с учетом диффузии примеси
4.3. Постановка задачи
4.4. Результаты расчетов
Заключение
Литература
Введение.
Актуальной задачей современной гидродинамики является численное моделирование конвективных течений несжимаемой жидкости, связанных с многочисленными техническими приложениями: тепловая гравитационная конвекция в расплавах, термокапиллярная конвекция при отсутствии гравитации (многие процессы космической технологии: направленная кристаллизация, бестигельная зонная плавка) и др.
Большинство алгоритмов для расчета таких течений строится на основе традиционных уравнений Навье-Стокса, однако, несмотря на большой опыт решения этих уравнений, их численная реализация встречается с значительными трудностями.
Нетрадиционным подходом к построению алгоритмов для моделирования течений несжимаемой жидкости является использование квазигидродинамической (КГ'Д) системы уравнений, которые отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными вязкими членами с малым параметром.
Цель работы состоит в создании численных алгоритмов решения квазигидродинамических уравнений и их апробация на характерных задачах о течении жидкости как стационарного, так и нестационарного типа, а также их сравнение с традиционными численными методами.
Опираясь на предложенные КГД-уравнения, в диссертации построены явные и неявные разностные схемы для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости. В отличие от традиционных схем, данные алгоритмы не требуют введения искусственной вязкости для обеспечения устойчивости счета при моделировании течений с большими скоростями. Роль регуляризирующих добавок в этих алгоритмах играют дополнительные диссипативные члены, входящие в КГД-уравнения и отсутствующие в традиционных уравнениях Навье-Стокса. Это позволяет использовать центрально-разностную

апппроксимацию второго порядка точности для всех пространственных производных, включая конвективные слагаемые.
Построенный в диссертации алгоритм является удобным и эффективным способом численного расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в широком диапазоне параметров.
На основе построенных алгоритмов проведено численное моделирование стационарных и нестационарных режимов тепловой гравитационной конвекции, а также ряда режимов термокапиллярной конвекции, представляющих практический интерес.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, изложенных на 78 страницах, 53 иллюстраций и списка литературы, содержащего 50 наименований.
В первой главе приводится обзор современных методов решения системы уравнений Навье-Стокса, при этом особое внимание уделяется принципиальным трудностям, которые возникают при численном решении этих уравнений. Во втором параграфе этой главы дано сжатое изложение нового подхода к описанию задач гидродинамики — системы КГД уравнений.
Во II главе разработана разностная аппроксимация КГД-системы. Рассмотрены явный и неявный численные методы решения получившейся системы разностных уравнений. В первом параграфе этой главы приводится общая схема решения КГД-системы, обсуждаются преимущества и недостатки явного и неявного методов решения уравнений переноса, а также описывается методика представления результатов расчетов. В параграфе 2.2 описывается разностная аппроксимация системы уравнений и граничных условий, приводится явный метод решения уравнений переноса. В третьем параграфе II главы излагается процесс построения неявного метода решения уравнений переноса. Параграф 2.4 посвящен методу решения уравнения Пуассона для давления, здесь изложен способ аппроксимации граничных условий для давления, обеспечивающий симметричность и положительную определенность матрицы краевой задачи. В пятом параграфе описывается

2.5. Метод приближенной факторизации сопряженных градиентов.
Метод сопряженных градиентов для решения системы линейных уравнений с симметричной положительно определенной матрицей был впервые предложен в 1952 году в [24]. На основе этого метода и использования приближенной факторизации матрицы системы был разработан новый, более экономичный метод, который подробно описан в [25]. Этот метод был применен для решения практической задачи лазерного синтеза наряду с различными стандартными итерационными методами [25] и оказался в 8000 раз быстрее метода Гаусса-Зейделя, в 200 раз быстрее, чем метод переменных направлений, и в 30 раз быстрее блочного метода верхней релаксации с оптимальным выбором параметра. Кроме того, благодаря использованию в новом методе неполного разложения матрицы системы, в отличие от метода полного разложения по Холецкому, достигается значительное сокращение числа вычислений и большая экономия памяти.
Перейдем к описанию метода этого нового метода. Начнем с изложения метода сопряженных градиентов, на основе которого он построен.
Дана система
N линейных уравнений, где М- симметричная и положительно определенная матрица, и начальное приближение х0 для вектора решения х.
/7?-е приближение берется следующим образом:
а, выбираются из условия минимизации погрешности т-го

(2.23)
приближения в энергетической норме |хт - х||м, где Щм = {г,Мг)1П. Запишем уравнение (2.23) в форме:

хт-х = (х0-х)+ £агМг(х0 -х).
(2.24)