Разработка и исследование двухшаговых методов минимизации выпуклых функций

• Автор: Малинов, Валериан Григорьевич
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 171 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДВУХШАГОВЫХ
МЕТОДОВ БЕЗУСЛОВНОЙ ШНИМЙЗАЦШ
1.0. Обзор результатов первой главы
1.1. Двухпараметрический двухшаговый метод и его многошаговые аналоги
1.2. Исследование обобщенных двухпараметрических двухшаговых методов
Глава 2. ДВУХШАГОВЫЕ ЧЕТЫРЕХПАРАМЕТРЙЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2.0. Обзор результатов второй главы
2.1. Исследование двухшаговых четырехпараметрических методов первого порядка для задачи
безусловной минимизации
2.2. Непрерывный метод безусловной
минимизации
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЕКЦИОННЫХ ЧЕТЫРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ Ж ОБОБЩЕННЫХ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДВУХШАГОВЫХ МЕТОДОВ ШНИМИЗАЦИИ
3.0. Обзор результатов третьей главы
3.1. Исследование проекционных четырехпараметрических двухшаговых методов первого порядка
3.2. Исследование проекционных обобщенных двухпараметрических двухшаговых методов первого порядка

Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕГУЛнРИЗОВАННЫХ ДВУХШАГОВЫХ
ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ МИНИМИЗАЦИИ
4.0. Обзор результатов четвертой главы
4.1. Регуляризованный четырехпараметрический двухшаговый проекционный метод минимизации первого порядка
4.2. Регуляризованный двухшаговый обобщенный двухпараметрический проекционный метод
Глава 5. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ МИНИМИЗАЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
5.0. Обзор результатов пятой главы
5.1. Регуляризованный метод минимизации квадратичной функции
5.2.
Квадратичная экономике-математическая модель
задачи оптимизации реактивной мощности
5.3. Экономико-математическая модель выше второй
степени для задачи оптимальной КРН
5.4. Квадратичная математическая модель задачи оптимального регулирования напряжения и
реактивной мощности
5.5. Математическая модель выше второй степени задачи оптимизации напряжения и реактивной мощности
5.6. Некоторые результаты численных экспериментов
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА .'
ВВЕДЕНИЕ
Разработка и исследование конструктивных методов решения современных экстремальных задач, неразрывно связанных с актуальными оптимизационными задачами научно-технических приложений, в настоящее время остается одной из важнейших проблем вычислительной математики. Поэтому, хотя имеются многочисленные методы решения самых различных экстремальных задач (см. например, [13-[121] и другие работы), имеются и появляются новые экстремальные задачи, требующие более быстродействующих и точных численных методов решения. Ввиду этого разрабатываются численные методы решения, с одной стороны, целых классов экстремальных задач, а с другой стороны - узкого круга специальных экстремальных задач. Последние, как отмечается во многих работах (см., например, [73-[193, [273 и другие работы) при решении конкретных задач могут оказаться наиболее ценными. В настоящее время не известно универсального метода, эффективно решающего все задачи минимизации.
Из сказанного следует, что в теории и практике решения экстремальных задач, а особенно - связанных с минимизацией функций с поверхностями уровней "овражной” структуры, актуальна проблема разработки и исследования метода, несложно реализуемого на ЭВМ, с широкой областью сходимости, экономичного.
За прошедшие 5-7 лет, в 90-ые годы, в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова в трудах научного семинара, руководимого профессором кафедры Оптимального управления фак -та БМиК МГУ Ф. П. Васильевым, предложены и исследованы многошаговые проекционные итерационные методы минимизации, построены непрерывные проекционные методы минимизации высоких порядков, разработаны и исследованы их. регуляризованные варианты.
Многошаговые методы минимизации, как отмечено в целом ряде

Доказательство. Для обеих исследуемых методов доказательство теоремы проведем по одной и той же схеме, параллельно.
Из неравенства, справедливого для функций £ (х) £ С1,1 (ц) [Ц] £(и) - 1 (у) > (Г*(и), и - V) - 1|и - V$*/2, V и. V £ 0. при и = хк. V = як+1, следует
Г к - 1'к+1 > (Г’к, як - хк+1)- Ь||хк - хк+1|2, к > 0. (16)
Оценим правую часть этого неравенства. Для первого слагаемого, обозначив (см., например, [123) £к = в = (Д'к,хк+1 -хк)/(1Г'к!* Х|хк+1 -хк|, получим (Г’;<5як - хк+1)= £|Г'к!1 !|хк+1-хк||, в £(0,13. Тогда из (16) имеем
£'к " £к+1 > е |Г'к1 8*к+1 *хк!1 ~ М1*к -хк+1|2/2, к>0. (17)
Воспользовавшись (4) и доказанным неравенством (6),'имеем цяк _хк+1| =цтг-'(2)-<хук!)> 1[§ТГ(2) |-л||у4> т!!Г’к1-ос|!ук1. (18)
Используя условие (2) Липшица, получим оценку сверху цхк _як+1| у|Г'(гк)- Г'к|( + ЦтГ'к - аукЦ <
С Ьат|ук|! + |уГ1‘к-аук|. (19)
Преобразуем (17) с помощью оценок (18) и (19),
Гк - £'к+1 > (е !Г'к! - 1*к -хк+11)!|хк+1 -як| >
> (ет - Ьт2/2) |{Г'к!2 “ Ьа2|ук!2'/2 + (Дат - £<х) 'У 1Ук1 +
4- Ь2(Х2тЦук!2/2 - Ь2ау2||Г'к.| !!ук||/2, к > 0 . (20)
В правой части (20) оценим разность слагаемых, содержащих множи-
тели а2т и опт2,
Д2ат1ук1(аIук| - тIТ’к1)/2 *
Здесь выражение в скобке оценим с помощью оценки (8), тIукI - ¥1 £ * к!! У _ 'т|£*к! 8*
В силу последней оценки из (20) следует,
£'к - £’к+1 > 9 (’), к > 0, (21)

Ф(’) = (ет -Дт2/2) |Г'к!!2 -Дай|ук!г/2 +(Дат -ва) 1£’кНУк1- (£2)
Проведем по отдельности для первого и второго метода оценку пра-