Использование систем компьютерной алгебры при построении эффективных численных алгоритмов решения некоторых задач математической физики

• Автор: Боголюбская, Алла Анатольевна
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 100 с.

Оглавление
Введение
1 Построение явных С-устойчивых схем максимального нечётного порядка точности с применением системы REDUCE
1.1 Постановка задачи. Алгоритм построения схем порядка
q = 2к
1.2 Проверка точности и устойчивости построенных разностных схем. Особенности использования системы REDUCE
в данной задаче
1.3 Схемы максимального нечётного (3,5,7,9) порядка точности
1.3.1 Случай к
1.3.2 Случай к
1.3.3 Случай к
1.3.4 Случай к
1.4 Случай схемы максимального чётного порядка точности
2 Исследование устойчивости разностных краевых задач с
применением систем компьютерной алгебры
2.1 Необходимые сведения из GKS-теории
2.2 К исследованию спектра одной разностной краевой задачи
2.3 Возможность полного исследования устойчивости разностных краевых задач с применением СКА
2.3.1 Примеры полного исследования устойчивости
3 Математическое моделирование двумерных солитонов в
моделях магнетиков Гейзенберга (МГ)
3.1 Двумерные топологические солитоны в модели анизотропного МГ со стабилизирующими членами
3.2 Двумерные топологические солитоны в калибровочно-инвариантной модели легкоосного антиферромагнетика
Гейзенберга
Заключение
Список литературы
Введение
Численные исследования и компьютерная алгебра в настоящее время одинаково успешно используются в цикле вычислительного эксперимента [1, 2]. Численные методы, развиваясь по мере развития теории и совершенствования ЭВМ, остаются важнейшим, а иногда и единственным средством решения сложных задач математической физики, например, нелинейных уравнений. В связи с этим возрастает роль теоретического обоснования корректности численных методов. Для этой цели, а также для построения численных методов с заранее заданными свойствами всё чаще используются системы компьютерной алгебры (СКА) [3]-[5].
Построение разностных аппроксимаций заданного качества — „один из главных вопросов теории численных методов,“ — отмечает в [1] академик А.А.Самарский. Построение разностных схем связано с громоздкими выкладками и поэтому является естественной областью для приложений систем компьютерной алгебры (СКА). Перечислим наиболее известных авторов ([б]-[16]): Вирт М.С., Ворожцов Е.В., Ганжа В.Г., Лиска Р., Мазурик С.И., Стейнберг С., Шапеев В.П., Шашков М.Ю., Щенков И.Б. (Отметим, что почти все эти авторы занимаются также исследованием устойчивости разностных схем с применением СКА). В приведённых работах для построения разностных схем используются различные методы - метод конечных элементов [7], метод разностных аппроксимаций [11], метод неопределённых коэффициентов [9] и др. Иногда авторы разрабатывают специальные методы и языки [6, 8], удобные для заданных классов дифференциальных уравнений. Программы, связанные с построением и исследованием устойчивости разностных схем, включаются в библиотечные пакеты универсальных СКА (см., например, [17]).
Построенные разностные аппроксимации используются, как правило,

Введение

для проведения дальнейших численных экспериментов, поэтому возникает необходимость представления их в формате языков численного программирования. Одним из важнейших требований к СКА при построении разностных схем (и вообще при построении эффективных численных алгоритмов) является хорошо организованный символьно-численный интерфейс [18], и, в частности, возможность генерации эффективных программ на языках численного программирования (а в идеале — и для современных параллельных суперкомпьютеров).
Одним из первых, кто в нашей стране применил СКА для построении разностных схем, был В.В.Русанов — еще в 1969 г. в [23] он использовал язык РЕФАЛ [24] для вычисления коэффициентов своей знаменитой явной схемы, широко используемой в газодинамических расчётах. Схема Русанова имеет третий порядок точности. С увеличением порядка точности необходимость использования СКА возрастает.
К схемам высокого порядка точности относятся так называемые схемы максимального нечётного порядка точности. Эти схемы были предложены в работе [26] Стрэнгом (для уравнения щ = их) и рассматривались Цинь Мэн-чжао в работе [27], где изучались конечноразностные методы решения задачи Коши для уравнения ut + их = 0, t — пт, х — uh. Накладывалось естественное ограничение на отношение шагов сетки (т/h) < 1. Было показано, что [27] на схемах порядка точности In Л-1 достигаются оптимальные в Ь2 оценки сходимости.
С.И.Сердюковой в работах [28]-[30] рассматривался подкласс С-устой-чивых схем максимального нечётного порядка точности (2к — 1). При начальных данных из С„ для схем порядка точности In Л-1 установлена оценка погрешности решения в С порядка точности 0(hN+a ln ln Л“1). Кроме того, доказано, что число точек, на которые „размывается” изолированный разрыв, обратно пропорционально порядку схемы. Зона размывания разрыва имеет ширину порядка In /г-1.
Тем самым было доказано, что схемы максимального нечётного порядка точности 2к — 1, к — 0(ln/г-1), обладают свойствами, близкими к оптимальным в С, и хорошо приспособлены для счёта разрывных решений, которые нередко возникают в практических расчётах.
Построение аналога схем Стрэнга для двумерного случая производит-
Глава

Рис. 1.8: Решение периодической задачи со столбиками“ при I — 2 (