Непараметрическое оценивание функционалов от распределений случайных последовательностей

• Автор: Кошкин, Геннадий Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 403 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1 ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
1.1 Актуальность развития методов условного непараметрического оценивания
1.2 Условные и характеризационные функционалы. Дополненные функционалы
1.3 Оцениваемость функционалов. Функционалы с особенностями
1.4 Выводы
2 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИЙ СТАТИСТИК
2.1 Введение. Постановка задачи
2.2 Сходимость по распределению первых моментов
функций статистик
2.2.1 Простейший случай
2.2.2 Сходимость к стандартным распределениям
2.3 Сходимость в среднеквадратическом оценки подстановки
2.4 Моменты отклонений оценки подстановки, ее СКО,
смещение и дисперсия
2.4.1 Простейший случай (моменты отклонений)

| // ' 1 У -У/ у'
2.4.2 Простейший случай (CKO, смещение и дисперсия)
2.4.3 Случай зависимости функции H(t) от п
2.4.4 Случай стационарной точки t функции H(t)
2.4.5 Смешанные моменты отклонений оценок подстановок
2.5 Кусочно-гладкая аппроксимация оценки подстановки, ее сходимость в среднеквадратическом
2.6 Моменты отклонений кусочно-гладкой аппроксимации оценки подстановки, ее СКО
2.7 Проблема оптимизации кусочно-гладкой аппроксимации оценки подстановки по минимуму СКО
2.8 Сходимость по распределению кусочно-гладкой аппроксимации оценки подстановки
2.9 Простые иллюстративные примеры: случай параметрического оценивания
2.10 Выводы
3 НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЯДЕРНЫЕ ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ
3.1 Построение оценок базовых и характеризационных функционалов
3.2 Вспомогательные результаты для ядерных оценок модификаций базовых функционалов
3.3 Вспомогательные результаты для оценок производных модификаций базовых функционалов
3.4 Сходимость в средпеквадратическом оценок базовых функционалов и их производных
3.4.1 Сходимость ковариационной матрицы
3.4.2 Сходимость смещения

3.4.3 Улучшение скорости сходимости среднеквадратических ошибок
3.4.4 Скорость сходимости ковариационной матрицы оптимальных улучшенных оценок
3.4.5 Сходимость оценок производных базовых функционалов
3.5 Сходимость по распределению оптимальных оценок базовых функционалов и их производных
3.6 Сходимость функций от оценок базовых функционалов
3.7 Сходимость оценок характеризационных функционалов
3.7.1 Слабая сходимость
3.7.2 Поточечная сходимость в среднеквадратическом
3.7.3 Равномерная сходимость в среднеквадратическом
3.8 Совместное асимптотическое распределение оценок характеризационных функционалов
3.9 Преимущества предлагаемой методики непараметрического оценивания
3.10 Выводы
МОДИФИКАЦИИ ОЦЕНОК ФУНКЦИОНАЛОВ
4.1 Рекуррентные аналоги непараметрических оценок базовых функционалов
4.2 Синтез ядерных оценок с улучшенной скоростью сходимости
4.2.1 Обсуждение проблемы: улучшенные оценки А-
и В-типов
Пример 1.1.5. Некоторые процедуры получаются в результате воздействия определенных операторов на характеристики условных распределений. В качестве примера приведем условные квантили <3(р |з;), 0 < р < 1 [329]:
Я{рх) = {ь{рх) + и{рх), Црх) = Ы[у : К(у|х) > р],
Н(д|т) = вир [у : К(у|ж) < р],
д'Г(х,у') / д'Г(х,оо)
где Му ж) =
дх 0X1 / ох 0X1
ния.
Пример 1.1.6. Большое число примеров, в которых оцениваемые величины представляют собой функционалы от условных распределений или результат воздействия определенных операторов на условные плотности вероятностей, дают классические задачи обработки сигналов: фильтрация, интерполяция и прогноз. Так, в гл.6 [69] показывается, что оптимальная оценка фильтрации полезных сигналов выражается через такие характеристики наблюдаемых сигналов, как ——1п /(хпх"~1), х = (хц ... ,х)'Г,
(X хАу
где !{хпх) — условная плотность наблюдений, а оптимальные оценки прогноза — через функционалы Jд(х™+1)/(хп+\ху)с1хп+х, где д — заданная функция, а п — длина наблюдаемой реализации. Качество оценок в теории решений определяется величиной риска, или средними потерями, которые мы несем при использовании тех или иных оценок. Поэтому получение оценок рисков является одной из важных статистических задач. В главе 9 [69] показывается, что риски оценок допускают представление в виде функционалов от безусловных распределений наблюдаемых случайных величин, а подынтегральное выражение является результатом воздействия известных функций и операторов на условную плотность вероятностей наблюдений. При этом в качестве операторов выступают вторые смешанные частные производные условных плотностей вероятностей. Необходимость оценивания производных плотностей высших порядков возникает также для функций чувствительности второго порядка [210] при