Расширение линейно-алгебраических возможностей систем компьютерной алгебры

• Автор: Чугунов, Вадим Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.11
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление
1 Введение
2 Задачи Мирского и Фарахата-Ледерманна
3 Матричные задачи дополнения с произвольным расположением: заданных элементов
4 Матричные задачи дополнения блочного типа
5 Обратная задача Сильвы
6 Заключение
7 Литература
8 Приложения
1 Введение
Проблемой собственных значений в прикладной линейной алгебре называют задачу вычисления (всех или части) собственных значений квадратной матрицы. Под обратной проблемой собственных значений понимают класс задач, которым можно дать следующее общее описание: для указанного класса С матриц размера п х п и заданного набора чисел Л = {А1,А„} найти матрицу А Е С, спектр а(А) которой совпадает с А. Вместо набора А может быть задан многочлен /(А) степени п со старшим коэффициентом 1 (такие многочлены мы называем нормированными), и тогда задача состоит в отыскании матрицы А £ С с характеристическим многочленом /(А).
Класс С может представлять собой один из хорошо известных классов специальных матриц, например, класс симметричных, теплицевых или неотрицательных матриц. Другая возможность задать класс С состоит в том, что фиксируются некоторое подмножество /С пар индексов
(*1,Л)»(*2,Д),-,(**,Д), 1 < *>,.Й < я VI, (1.1)
и набор чисел {счц}. где (г,,)) € /С. Класс С теперь определяется условием
В Е С <=> = пу, V (г,,)) Е П. (1-2)
Элементы матрицы В Е С в позициях, дополнительных к /С:
и = {О‘о)1 1 < *,7 < (г,;) £ /С}, (1.3)
называются свободными. Обратная проблема собственных значений для класса С такого типа заключается в том, чтобы подбором свободных элементов ” навязать” матрице из С требуемый спектр или характеристический многочлен.
Эту вторзто разновидность обратных задач на собственные значения мы будем называть задачами дополнения. Между собой такие задачи различаются мощностью подмножества К и — при одинаковой мощности, — расположением позиций (уМожет случиться, что существует блочное разбиение матрицы такое, что позиции (г,у) Е /С заполняют один или несколько блоков; в этом случае мы говорим о задаче дополнения блочного типа. Всем прочим подмножествам К соответствуют задачи дополнения общего типа.
По отношению к каждому типу обратных задач на собственные значения будем изучать следующие вопросы: 1) разрешима ли задача над рассматриваемым числовым полем; 2) в случае разрешимости, как следует вычислять ее решение (или решения).
Что касается разрешимости, то полезно взглянуть на этот вопрос под таким углом зрения. Всякая обратная задача на собственные значения эквивалентна некоторой системе алгебраических уравнений относительно свободных параметров (свободных элементов, в случае задачи дополнения). Действительно, пусть
/(А) = Ап + а\" 1 + + вп-1 А + ап (1-4)
есть заданный характеристический многочлен. Если вместо /(А) предписаны собственные значения А1
ак = (-1)как(1
Пусть А — искомая матрица класса С; тогда ее характеристический многочлен совпадает с многочленом (1.4). Известно, что коэффици-
енты характеристического многочлена матрицы могут быть выражены как (альтернирующие) суммы ее главных миноров соответствующего по-
Можно положить, например, V = Е”= / tj Нетрудно видеть, что пара (Б, г) управляема, т.е. система векторов у, Ву1 В2ь:
Известно, что преобразованием вида
В —* Б = V —* е„
управляемая пара (В, у) может быть приведена к канонической форме (Б, еп_1), где Б — клетка Фробениуса, а еп_1 — последний координатный вектор пространства Кп~1. Наиболее целесообразный способ такого приведения будет указан в п. 3.3.
Дополним (гг — 1) х гг-матрицу
(Р е„_х)
до квадратной матрицы А с заданным характеристическим многочленом
/(А):

Число хп при этом равно
( Б е„_і

хт = (х ... жп_і). (3.10)

Хп — Й1 (3.11)

Остальные неизвестные жі,ж„_і определяются следующим образом. Пусть —6П_1, —6„_2, —&1 — элементы последней строки матрицы Б.
Для к = 1,2,
ординатного вектора е, а внедиагональные элементы п-й строки станут равны Хк + Ъп_к%п (к — 1,