Экспериментальное и теоретическое исследование дифракции акустических волн на конусах специального вида и препятствиях типа полосы

• Автор: Валяев, Валерий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.04.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 160 с. : ил.

Обзор литературы
Глава 1. Экспериментальное исследование дифракционных
задач методом М-последовательностей
§1.1. Описание методики
§1.2. Проверка методики
§1.3. Экспериментальное изучение дифракции на угле куба
§1.4. Основные результаты главы
Глава 2. Численная реализация метода спектрального
уравнения для двумерных задач дифракции
§2.1. Введение
§2.2. Постановка задачи
§2.3. Метод спектрального уравнения
§2.4. Свойства спектрального уравнения
§2.5. Численный алгоритм
§2.6. Результаты моделирования. Анализ точности и эффективности
§2.7. Реализация алгоритма для задачи дифракции на. двух полосах
§2.8. Реализация алгоритма для задачи дифракции
на полубесконечном экране со щелью
§2.9. Основные результаты главы
Глава 3. Аналитический расчет дифракционных
коэффициентов четверти плоскости и угла куба
§3.1. Введение
§3.2. Основные соотношения
§3.3. Трехмерные формулы расщепления
§3.4. Модифицированное представление Конторовича-Лебедева
§3.5. Формулы расщепления на сфере с разрезом
§3.6. Пример численных расчетов
§3.7. Задача дифракции на трехгранном конусе
§3.8. Основные результаты главы
Заключение

Приложение А, Вывод соотношений, используемых при
решении задач дифракции на конусах
§А.1. Собственные значения сферических задач
§А.2. Представления полей в виде рядов и их асимптотики
§А.З. Представление полей в виде контурных интегралов
§ А.4. Вывод модифицированных формул Смышляева
Литература

Цели и задачи работы. В данной работе рассмотрены некоторые скалярные (акустические) задачи дифракции, а. именно двумерные задачи о дифракции плоской волны на одной полосе, на двух полосах и на полубесконеч-ном экране со щелью, а также трехмерные задачи дифракции на плоском и на трехгранном конусах.
Общим свойством рассматриваемых задач является то, что они относятся к классу зоммерфельдовых задач, то есть допускают сведение с помощью метода отражений [1, 2] к задачам распространения на многолистных поверхностях. В работах [3-19], собранных в [20], были получены новые аналитические соотношения для полей в таких задачах. Эти результаты, помимо фундаментальной ценности, представляют интерес тем, что потенциально могут быть положены в основу эффективных численных методов. Однако связь между новыми соотношениями и численными методами оказывается нетривиальной. Данная работа ставит одной из своих целей отчасти заполнить этот пробел.
Основным результатом работы [20] для двумерных зоммерфельдовых задач дифракции является метод спектрального уравнения. Этот метод заключается в том, что после ряда упрощений исходная дифракционная задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. Процедуры численного решения таких уравнений, как правило, весьма эффективны. Сложность состоит в том, что коэффициенты спектрального уравнения зависят от нескольких параметров, значения которых неизвестны. Однако известны оценки роста решений, соответствующих физической постановке задачи, в особых точках этого уравнения. Целью данной работы является разработка численных алгоритмов поиска коэффициентов с помощью указанных оценок роста.
Задачи дифракции на конусах в настоящее время являются развивающейся областью теории дифракции. Основная цель при решении конической задачи — отыскание дифракционного коэффициента, т.е. зависимости амплитуды сферической волны, рассеянной вершиной конуса, от направлений падения и рассеяния. Современный общий подход к решению конических задач был развит в работах [21-24]. Этот подход основан на отделении радиальной переменной и численном решении возникающих при этом задач для оператора Лапласа-Бельтрами на части единичной сферы. В результате дифракционный коэффициент выражается через контурный интеграл по параметру разделения переменных. Подынтегральное выражение включает в себя функцию Грипа оператора Лапласа-Бельтрами на части единичной сферы, которая может быть вычислена как решение интегрального уравнения Фред-

Решения ZlI2 воспроизводят поведение и 12 с точностью до неизвестных постоянных множителей.
Заметим, что
ИК+ = -1/2. (2.67)
Используя это свойство, рассмотрим поведение решений уравнения (2.52) на бесконечности. Детальное рассмотрение показывает, что всегда существуют решения, имеющие асимптотики (2.39), (2.40), (2.41) и (2.42). Говоря точнее, при любом выборе значений Д и £2 существуют два столбца и Уг, компоненты которых ИД” ведут себя следующим образом:
ИД (А;) = е~1ак 1Г(А)
—дт,1(гк) 1/2 + О (к 3/2) при 1т к < 0, |&| —>■ оо; (2.68)
—5т,2{—гк)'1^2 + 0(АГ3/2) при 1т А > 0, к оо. (2.69)
Эти столбцы являются кандидатами в решения ЕГо и ХД при правильном выборе Д и £2Отметим, что нижние индексы у столбцов Zn и п выбраны таким образом, что Ъп или воспроизводит поведение столбца и„ в соответствующей особой точке (возможно, с точностью до постоянного множителя).
2.4.2. Глобальные свойства
Пусть коэффициенты спектрального уравнения удовлетворяют соотношениям (2.62), (2.64) и (2.65) при произвольных Д и £2. Тогда в окрестности каждой особой точки существует пара фундаментальных решений, обладающих заданными асимптотиками, характерными для соответствующих столбцов ит. Однако в общем случае эти решения не соответствуют друг другу, например, решение, ведущее себя как ГД в точке ко, при продолжении в бесконечность может иметь асимптотику отличную от (2.40). Параметры Д и £2 должны быть выбраны таким образом, чтобы существовали глобальные решения с нужными асимптотиками сразу во всех особых точках.
Выберем к = 0 в качестве опорной точки. Зададим базисные решения (ЕфАфЕг^)) с помощью соотношений
Е1<0,= (о)’ Е^(°) = (°)' (2.70)
Построим матрицы М+ и М°°, связывающие базисные решения в опорной точке с базисными решениями в особых точках +Ад и оо соответственно (матрицы связи). Для нахождения элементов этих матриц продолжим решения Е) и Е2 вдоль путей, показанных на рис. 2.4, и разложим их в окрестностях особых точек по соответствующим базисам, т.е. представим их в виде