Самоподобные случайные процессы в задачах прикладной спектроскопии

• Автор: Харинцев, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 153 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I САМОПОДОБНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ АНАЛИЗ
1. Введение
2. Фрактальные шумы и их свойства
3. Метод нормированного размаха Херста (й/1'’-анализ)
4. Метод детектирования сигналов на основе фрактального анализа
5. Проверка нормальности фрактальных шумов
6. Статистическая зависимость и выявление тренда
7. Выводы
ГЛАВА П. ОБРАТНЫЕ НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ФРАКТАЛЬНЫМ ШУМОМ В ДАННЫХ
1. Введение
2. Методы решения обратных задач
3. Алгоритм учета априорной информации о фрактальных
свойствах случайного шума
4. Сглаживание экспериментальных данных
5. Дифференцирование экспериментальных данных
6. Решение задачи Абеля для случая осесимметричной плазмы
7. Удаление аппаратурных искажений
8. Разделение сложных сигналов на элементарные составляющие методом производной спектроскопии
9. Выводы
ГЛАВА Ш. САМОПОДОБНЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ В ТЕОРИИ УШИРЕНИЯ И СДВИГА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
1. Введение
2. Динамические системы с остаточной памятью
3. Модель дробного осциллятора
4. Функция корреляции в модели слабых столкновений
5. Диффузная модель самоподобных столкновений
6. Самоподобный механизм интерференции скалярных возмущений
7. Транспортное сечение самоподобных столкновений
8. Форма линии в допплеровском режиме
9. Эффекты самоподобных столкновений на уширение из-за взаимодействия (самоподобный контур Фойгта)
10. Совместный учет корреляции между допплеровским и столкновительным уширением и самоподобных столкновений
11. Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ

В последнее время проявляется огромный интерес к фрактальной геометрии, изучение которой позволило расширить наши знания о природе, а также исследовать с новой точки зрения традиционную физику явлений. Это связано с тем, что многие физические явления наилучшим образом описываются в рамках концепции фрактала (от латинского слова &асйш, что означает “доля”). Можно сказать, что за сравнительно короткий срок теория фракталов превратилась в самостоятельную область естествознания и находит многочисленные применения в самых разных теоретических и практических задачах. Несмотря на то, что в основе концепции фрактала содержится некоторая идеализация действительности: фрактальные объекты (процессы)
самоподобны, т.е. их вид не претерпевает существенных изменений при масштабных преобразованиях, это понятие оказалось весьма плодотворным и позволяет на порядок увеличить глубину нашего математического описания природы.
Началом процесса проникновения идей фрактальной геометрии в физику принято считать появление книги Б. Мандельброта [1]. К настоящему времени с помощью применения идей теории самоподобных объектов (процессов) уже удалось понять достаточно много (см. обзоры [2], [3] и книги [4], [5]) и можно надеяться, что возможности применения идей фрактальной теории в физике еще далеко не исчерпаны. Более того, до сих пор существует целый ряд вопросов, ответы на которые еще предстоит найти. Именно поэтому многие исследователи пытаются в настоящее время, с одной стороны, изучать самоподобные объекты (процессы) и, с другой стороны, применять методы теории фракталов для описания известных явлений. Одной из работ, в которой предпринята попытка исследовать самоподобные случайные процессы применительно к задачам прикладной спектроскопии, можно считать настоящую диссертацию.
Параллельно с интенсивным развитием теории фракталов большую популярность в исследованиях самоподобных структур (процессов) приобретает математический аппарат фрактальной геометрий, основанный на использовании понятия дробной производной [6-12]. В настоящее время в рамках этой концепции удалось построить адекватные математические модели для описания процессов переноса и релаксации во фрактальных средах [2,5,9,13,14], фрактальной кинетики иерархически соподчиненных систем [2], учета необратимости эволюции динамических систем [2,9] и т.д. Однако до сих пор, несмотря на усилия многих авторов [9-12], не существует ясной физической

описывает типичную схему измерений в физических исследованиях, отвечающую стандартной схеме [43]: объект-» среда-» прибор. Основная проблема состоит в том, чтобы извлечь из измерения / как можно более точные значения параметров объекта.
Обратные задачи обычно оказываются некорректными. Условия корректности были сформулированы в начале нашего века французским математиком Ж. Адамаром [44]. Позднее А.Н. Тихонов [45] математически доказал принципиальную невозможность получения точного решения (2.1.1) и указал на особую роль третьего условия корректности Адамара (условия устойчивости). Поскольку данные, подлежащие математической обработке, всегда отягощены некоторой случайной погрешностью, то в силу неустойчивости решения (р = К1/ эти данные в физическом смысле не определяют ф, какова бы ни была точность измерений f. Другими словами, вычислительная схема подобных задач очень чувствительна к небольшим ошибкам в исходных данных. Малое обычно неконтролируемое изменение данных или ошибок счета приводит к значительному изменению ответа. В связи с этим некорректную задачу можно считать эффективно недоопределенной. Для того, чтобы обратная некорректная задача стала вполне содержательной, необходимо пересмотреть ее постановку.
Анализ конкретных приемов решения некорректных задач показывает, что в основе всех приемов лежит идея привлечения дополнительной априорной информации о решении, так называемая регуляризация решения [45-50]. Строго говоря, регуляризация подменяет исходную задачу другой. Нужно, чтобы регуляризация, не меняя физического содержания задачи, только избавляла нас от ее вычислительной неустойчивости. Другими словами, введение априорной информации позволяет значительно сузить область допустимых решений. Разным способам априорной информации соответствуют разные способы регуляризации. Наиболее распространенные методы решения некорректных задач подробно изложены в [46-49].
Важной чертой измерительных задач является вероятностная природа величин, наблюдаемых в реальном эксперименте. Стохастичность является неотъемлемой чертой всякого реального эксперимента и естественным образом должна входить в формулировку обратной задачи. Статистические подходы и методы решения обратных задач являются поэтому прямым следствием указанной стохастичности эксперимента. Однако нужно иметь ввиду, что математическая обработка не является абсолютным инструментом в смысле усовершенствования качества измерений, прежде всего нужно