Параметрические нелинейные модели теории катастроф в методах статистической обработки данных эксперимента

• Автор: Глухова, Светлана Ивановна
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ОБРАБОТКЕ ДАННЫХ.
1.1. Роль статистической обработки в анализе данных эксперимента.
1.2. Метод главных компонент.
1.3. Факторный анализ.
1.4. Кластерный анализ.
1.5. Дискриминантный анализ.
1.6. Регрессионный анализ.
1.7. Перспективы развития методов обработки данных на ЭВМ.
ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛЕЙ КАСПОИДНЫХ КАТАСТРОФ.
2.1. Теория катастроф как метод статистических исследований.
2.2. Каспоидные особенности как модели многомодальных одномерных статистических распределений.
2.3. Метод моментов для определения параметров многомодальных распределений.

2.4. Метод максимального правдоподобия.
2.5. Численные методы поиска максимума функции максимального правдоподобия.

2.6. Методы расчета параметрических интегралов от экспоненциальных функций.

2.7. Проверка гипотезы о многомодальном распределении.
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.
3.1. Метод моментов.
3.2. Метод максимального правдоподобия.
3.3. Описание программного комплекса расчета параметров катастрофы "сборки".

3.4. Программный модуль накопления и предварительной обработки данных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
Анализ положений равновесия канонической катастрофы сборки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
ВВЕДЕНИЕ
Для решения задач, связанных с анализом данных при наличии случайных воздействий, математиками и другими исследователями (биологами, психологами, экономистами и т. д.) за последние двести лет был выработан мощный и гибкий арсенал методов, называемых в совокупности математической статисткой (а также прикладной статистикой или анализом данных). Эти методы позволяют выявлять закономерности ыа фоне случайностей, делать обоснованными выводы и прогнозы, давать оценки вероятностей их выполнения или невыполнения. В настоящее время математическая статистика претендует на роль математического языка экспериментатора. Статистические методы занимают некоторое среднее место между полной (а потому недостижимой) объективностью и чисто субъективной оценкой на глаз, причем при правильном применении статистических методов и добросовестности субъективной оценки обычно не возникает противоречия между этими двумя подходами.
Необходимо отметить, что в подавляющим большинстве экспериментов важным моментом предварительного анализа данных является проверка соответствия результатов измерения закону нормального распределения. Это тем более важно, что все параметрические критерии, применяемые в регрессионном и дискриминантном анализах, являются очень чувствительными к отклонениям от предположения о нормальности. Между тем существует значительное количество данных, либо вообще не поддающихся анализу с помощью кривой нормального распределения, либо не удовлетворяющих основным предпосылкам, необходимым для ее использования. В связи с этим, большой перспективой для статистической обработки таких данных является применение мультимодальных законов распределения и использование математических моделей теории катастроф.
Мультимодальные распределения имеют тесную связь с распределениями нормированных сумм зависимых случайных величин: согласно центральной предельной теореме такие распределения в пределе представляют собой взвешенные нормальные распределения, количество мод которых, вообще говоря, зависит от среднего уровня корреляций между слагаемыми. Методы теории катастроф позволяют изучить топологию таких распределений, выявить моменты смены мод, получать оценки по математическому ожиданию с устраненной аномалией дисперсии.
В связи с последним отметим, что использование средних величин во многих исследованиях требует определенной осторожности - должен быть

соответствующий контроль дисперсии оцениваемых по среднему случайных величин, так как возможна аномалия дисперсии. Это служит указанием на то, что “классические” оценки по среднему значению нуждаются в серьезной корректировке. И причина тому - проявление мультимодальности (чаще бимодальности) распределения.
Методы математической статистики позволяют установить форму и степень связи между изучаемыми явлениями, но. они плохо пригодны для выявления внутренних, скрытых механизмов установления связей. Поэтому для выводов качественного характера об исследуемых объектах представляется наиболее перспективным применение методов теории катастроф для построения соответствующих моделей на основе имеющихся статистических данных.
В то же время ни в коей мере не следует переоценивать роль и значение закономерностей, полученных при использовании статистических программ, целиком полагаясь на их "бесстрастность" и объективность. Человеческий фактор пронизывает насквозь всю автоматическую систематизацию данных. Выбор наиболее существенных характеристик осуществляется разными исследователями по-разному, поскольку выбранные характеристики, описывающие объект исследования, несут на себе субъективизм исследователя, т. е. его знание исследуемого объекта, его догадки и гипотезы. Кроме этого, субъективизм проявляется в предпочтении исследователем определенных статистических приемов анализа, выборе определенные критерии значимости и т. п. Но с научной точки зрения нельзя основывать любое утверждение на анализе каким - то одним, излюбленным методом, независимо от того, что показывает критерий. Подтверждение всегда необходимо искать как в независимом повторении результатов эксперимента. Поэтому так важно обеспечить исследование адекватными математическими и вычислительными методами. Разработка новых ме тодов анализа, основанных на интеграции методов математической статистики и математических моделей теории катастроф, учитывающих нелинейный характер изучаемых явлений, является предметом настоящего исследования. Диссертация посвящена разработке методов статистической обработки данных с использованием нелинейных параметрических моделей каспоидных катастроф, исследование их характеристик, количественного и качественного соответствия этих моделей сложным объектам экспериментальных исследований. Так использование разработанных методов в анализе медицинских данных позволяет выполнить оценку достоверности выделения клинических признаков.

фактически предложено в работах [43, 44, 45], условие (2.21), очевидно, выполняется.
Будем считать, что в рассматриваемой задаче исходное распределение допускает преобразование к эталонному мультимодальному распределению (2.13). Тогда множество наиболее вероятных значений ф, связано с параметрами у соотношением
Уравнение (2.22) определяет 2К - 2-мерпое множество катастрофы М в пространстве /? ' ® К1к~} и, соответственно, /и-мерное множество в
пространствеК'х <8> Л". Причем условие (2.22) выделяет на этом множестве локальные максимумы функции плотности распределения вероятности, отвечающие отдельным модам £„ мультимодального распределения. В качестве примера геометрия множества Мдля К = 2 (особенность А3) представлена на рис. 2. Темно-серая часть множества Мисключается условием (2.23).
В отличие от других задач, использующих аппарат теории катастроф, "состояния" (статистической системы - множество М) - не являются детерминированными. Реальная статистика в этом случае будет соответствовать точкам в пространстве 2/,

(2.22)

ЗР/ї.лГу))
2К(2К - 1)С2 + 1Я] ~ ЩЇГ2 < 0. (2.23)

Множество катастроф А3