Гиперболические модели в механике многофазных сред

• Автор: Степаненко, Евгений Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 155 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I ОБЗОР МОДЕЛЕЙ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД
1.1. Обзор моделей многокомпонентных сред
ГЛАВА II ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ОБОБЩЕННО-РАВНОВЕСНОЙ МОДЕЛИ СРЕДЫ
2.1. Дифференциальные и интегральные уравнения модели
2.2. Интегральные уравнения для одномерного плоского течения смеси
2.3. Разрывные решения обобщенно-равновесной модели среды
2.4. Дифференциальные уравнения модели в адиабатическом приближении
2.4.1. Многомерные течения смеси
2.4.2. Характеристики и условия совместности
2.4.3. Корректность задачи Коши
2.4.4. Распад произвольного разрыва в многокомпонентной смеси
ГЛАВА III НОВЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД
3.1. Односкоростная многокомпонентная модель теплопроводной смеси
3.2. Гиперболичная модель вязкой смеси
3.3. Гиперболическая модель многоскоростной гетерогенной среды
3.4. Ударная адиабата многоскоростной гетерогенной среды
3.5. Течение грунтовых вод в пористой среде
ГЛАВА IV ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
4.1. Метод характеристик на фиксированной пространственной сетке
4.1.1. Расчеты двумерных установившихся течений смеси
4.1.2. Метод характеристик для теплопроводной смеси
4.2. Модификация метода Годунова С.К. для течений односкоростной многокомпонентной смеси
4.3. Сравнение некоторых расчетов с экспериментальными данными
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Как показывает анализ современной отечественной и зарубежной литературы, в настоящее время для проведения вычислений по протеканию различных физических явлений в динамических гетерогенных средах важна разработка гиперболических, математически и физически корректных моделей многокомпонентных смесей. Подобные вычисления могут быть весьма актуальны в ряде отраслей современной промышленности, медицине и т.п. Примерами таких расчетов могут являться - защита пористыми структурами от ударных волн (экраны из разнородных пузырьковых жидкостей, пенные взвеси и т.д.); исследование течения неоднородных жидкостей и газов (распространение волн в запыленных воздушных средах, течение грунтовых вод, течение многокомпонентных вязких жидкостей) и т.п.
Требование получения гиперболических моделей весьма актуально, так, например, в модели, обозначенной в работе [93], оказалось, что для смесей, содержащих две или более сжимаемые фракции, задача Коши корректна лишь в ограниченном диапазоне скоростей. В частности, при течении газопарокапельной смеси задача Коши корректна при скорости движения смеси не превосходящей 55 м/с. В работе [32] проведено исследование трех систем уравнений разных моделей на гиперболичность. Так авторами показаны существующие области комплексных решений для двух систем и отсутствие таковых для гиперболической модели. Но данные модели могут работать только с двухкомпонентной средой, как и большая часть гиперболических моделей, встретившихся нам в научной литературе.
Поэтому, существует необходимость создания моделей работающих с произвольным числом фракций многокомпонентной среды. Данной проблеме посвящено большое число работ Куропатенко В.Ф.[79-90]. Так, в обзорной статье «Новые модели механики сплошных сред» рассматриваются «пути перехода от традиционных моделей механики сплошных сред к моделям нового поколения на примере модели многокомпонентной среды» [90,С.74.]. В ней автором

предлагается фундаментальный подход, основанный на переходе от микро к макропараметрам, описывающих состояние вещества. В настоящей диссертации предлагается более общий подход в решении этой задачи - мы смотрим на моделируемую среду в целом, записывая для нее законы сохранения в общем виде, а недостающие для замыкания системы уравнений выражения рассматриваются отдельно для каждой из фракций, также основанные на законах сохранения. Суть такого подхода более подробно изложена в работах Сурова В.С.[104-117].
Отметим, что в зарубежной литературе созданию гиперболических моделей уделяется большое внимание. Так ключевой отправной точкой создания гиперболических моделей можно считать статью «Two-phase mixture theory for the deflagration to detonation transition (DDT) in reactive granular materials » (1986 г.) M. Baer и J. Nunziato [6]. Но, однако, в современной зарубежной научной литературе нам не встретилось, ни одной публикации о гиперболичных моделях п-компонентных сред с учетом вязкости и теплопроводности.
За основу разработки предлагаемых нами односкоростных, с общим давлением моделей учитывающих вязкость и теплопроводность, была взята ОР модель. В ОР модели движение каждой фракции описывается уравнением газодинамического типа, поэтому число уравнений пропорционально количеству фракций в смеси. Где подразумевается, что в конечном, достаточно малом объеме пространства одновременно находятся п различных фракций среды с учетом сил межфракционного взаимодействия, причем т из них - сжимаемые. Дифференциальные уравнения, описывающие поведение гетерогенной среды основаны на представлении о том, что в достаточно малом объеме разнородные фракции вещества двигаются с равновесной скоростью при неком общем давлении, что и обуславливает название модели. При выводе дифференциальных уравнений ОР модели заложена возможность дальнейшего учета таких физических процессов, как теплообмен между фракциями, взаимодействие между ними. Дальнейшая разработка ОР модели позволяет получить качественно новые результаты.

р=хр' (2Л-3)

Отметим, что объемную долю /-й составляющей смеси можно вычислить через отношение приведенной плотности к истинной
V, т, 1 1 т, р,
а'~7=и = (2Л‘4)
Полагая, что приведенные выше соотношения справедливы для сколь угодно малого объема смеси, массу г-й фракции, находящуюся в конечном фиксированном в пространстве объеме V, найдем из соотношения
Щ = | = [ ос,Р,°К (2.1.5)
Скорость изменения т1 в рассматриваемом объеме V можно определить, продифференцировав (2.1. 5) по времени
дт1 _ (* <Эсс,р,°

дЧ і у дЧ
С другой стороны, скорость изменения т определяется выражением - = - I а,р“и'П<Е+У Г АиАУ
Jev іу

где и - вектор скорости; п - внешняя единичная нормаль к поверхности дУ, ограничивающей рассматриваемый объем V; .1 - скорость превращения массы из /-й в у-ю составляющую в единице объема смеси. Сопоставляя два последних соотношения, получим уравнение закона сохранения массы в интегральной форме
1дгл'+ £ Е .[л*' (2.1.6)

Заметим, что баланс г-го компонента в объеме V за конечный промежуток времени АЧ = Ч2 — 41 может быть записан в виде
/ ( п №>
17 І V ч

м " )
СІЧ (2
Поверхностный интеграл в (2.1. 6), используя формулу Гаусса-
Остроградского, преобразуем в объемный