Некоторые математические проблемы теории упругих и вязкоупругих конструкций

• Автор: Лебедев, Леонид Петрович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 296 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА
1.1. Уравнения состояния линейной вязкоупругости
1.2. Понятие устойчивого материала
1.3. Механизмы релаксации
1.4. Устойчивость материала в рамках задачи квазистатики
1.5. Спектр динамических задач линейной вязкоупругости и устойчивость вязкоупрогого материала
1.6. Некоторые функциональные пространства ~
1.7. Обобщенные решения в линейной вязкоупругости и некоторые функциональные пространства
1.8. Достаточные условия устойчивости в динамических задачах вязкоупругости
1.9. Об устойчивости вязкоупругих материалов
ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
ВЯЗКОУПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
2.1. Основные соотношения нелинейной теории
вязкоупругих оболочек
2.2. Обобщенная постановка задачи динамики непологих вязкоупругих оболочек; некоторые функциональные пространства
2.3. Другие краевые задачи динамики непологих оболочек
2.4. Обобщенная постановка задачи динамики пологих вязкоупругих оболочек
2.5. Пологие вязкоупругие оболочки (без учета инерции
продольных колебаний)

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ВЯЗКОУПРУГОГО ПОВЕДЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК
ЗЛ. Задача квазистатики вязкоупругой оболочки
3.2. Динамическая устойчивость решения задач квазистатики вязкоупругих оболочек
3.3. Приложения термодинамики к проблеме устойчивости упругих конструкций на примере фермы Мизеса
ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ СТАТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК; МЕТОД КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
4.1. Нелинейная задача статики в теории упругих пологих оболочек (декартовы координаты); вариационный подход
4.2. Энергетические нормы в криволинейных координатах; теоремы вложения; обобщенная постановка некоторых линейных задач
4.3. Задача статики пологих упругих оболочек в криволинейных координатах; метод конечного элемента
4.4. Задача статики пологих упругих оболочек в криволинейных координатах; топологический подход
4.5. Метод конечного элемента в задаче статики пологих упругих оболочек в общих криволинейных координатах
4.6. К вопросу о корректности задачи статики нелинейной теории упругих пологих оболочек
4.7. Задача о равновесии пластины, подкрепленной ребрами жесткости
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Актуальность исследований. Математическое исследование задач теории упругости и вообще механики сплошной среды имеет столь продолжительную и насыщенную событиями историю, что для ее написания потребовалось бы много томов. Дополнительная проблема здесь заключается в том, что зачастую решение частной задачи механики сплошной среды является прорывом в области качественного математического исследования общих задач. Достаточно вспомнить классические исследования устойчивости стержня Эйлером или исследования Сен-Венана. Поэтому в данной работе, в качестве исторической справки, уместно упомянуть лишь одну ветвь математических исследований задач механики сплошной среды, основанную на общей современной теории уравнений в частных производных и методах функционального анализа и объединенную, в основном, методами и аппаратом исследования. Общепризнанным родоначальником этого направления является выдающийся отечественный математик С.Л. Соболев, с классических работ которого в обиходе исследователей появились понятия обобщенных производных, соболевских пространств и теорем вложения. Упомянем здесь его классическую книгу "Приложения функционального анализа в математической физике" (1951) и его раннюю работу по механике 1939 г. Впрочем, корни этого аппарата прослеживаются в работах выдающихся математиков прошлого века. Ограничимся этой более частной областью методов исследований механики.
В дальнейшем исследовании математических проблем механики сплошной среды приняли участие как отечественные, так и зарубежные специалисты. Под термином "математические проблемы механики", которое здесь поневоле приходится сузить, мы будем понимать исследование математической постановки задач механики сплошной среды, их

Рі(х) = 10 х3 + х2 + х + 0,01 и 0,і(х) = 0,01 х3 + х2 + х +

Р2(х) = 10 х3 + X2 + х + 0,01 и 0,г(х) - л: + 10.
Далее нам понадобятся известные [78] факты о спектре Коссера, который ранее уже упоминался в частной задаче об упругом эллипсоиде.
Точкой (или собственным значением) спектра Коссера называется такое число га, что краевая задача
Ли + ю УУ и = 0 (х є V),
Сии=0, (1.4.1)
имеет нетривиальное решение (в [78] решение понимается в обобщенном смысле). Здесь О некоторый линейный оператор, определяющий тин краевых условий. Для трех основных задач теории упругости в ограниченной области V с достаточно регулярной г раницей показано, что спектр Коссера (т. е. множество всех его точек) является дискретным и вещественным и расположен на интервале [-со; 1/3], Далее, для первой и второй краевой задачи там же показано, что система соответствующих собственных векторов полна и ортонормирована в скалярном произведении, индуцированном интегралом Дирихле, собственные числа могут сгущаться к значениям га из множества {-2; -1; 0; со}. Естественно, что точки спектра Коссера соответствуют значениям упругих модулей, которые не являются реальными (в частности, при таких модулях нарушается теорема единственности решения), однако для задач линейной теории упругости с реальными упругими модулями можно эффективно находить решения путем разложения в ряд по собственным элементам Коссера.
Наконец, как мы уже отмечали, для любого га є (-со; -1) можно подобрать такие значения полуосей эллипсоида а, Ь, с, что данное со есть