Изгиб неупругих стержней при малых деформациях

• Автор: Скоковский, Михаил Михайлович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Бишкек
• Количество страниц: 175 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Аналитическое определение прогибов
упругопластических балок
1.1. Основы прикладной теории упругопластического изгиба
1.2. Изгиб балки из материала с линейньш упрочнением
1.3. Балка с произвольным расположением поперечной нагрузки
1.4. Изгиб балки из материала с нелинейным упрочнением
Выводы к главе
Глава 2. Приближенное определение перемещений
упругопластических балок
2.1. Метод упругих решений
2.2. Балка из материала с линейным упрочнением
2.3. Балка из материала с нелинейным упрочнением
2.4. Изгиб балки, нагруженной распределенной нагрузкой
Выводы к главе
Глава 3. Применение метода упругих решений к расчету статически
неопределимых балок
3.1. Изгиб статически неопределимой балки
Выводы к главе
Глава 4. Расчет хрупких балок
4.1. Изгиб балки из материала с линейным разупрочнением
4.2. Балка из материала с различным сопротивлением
растяжению и сжатию
Выводы к главе
Заключение
Список литературы
Приложение
ВВЕДЕНИЕ
Решение разнообразных вопросов, возникающих при проектировании машин и сооружений, тесно связано с механикой деформируемого твердого тела. Одной из дисциплин, имеющей важные приложения в технике и физике, является теория пластичности. Математический аппарат и гипотезы теории пластичности позволяют изучать широкий комплекс вопросов механики деформируемого твердого тела. Ставя своей главной задачей средствами математического анализа исследовать и рассчитывать происходящие под действием приложенной нагрузки изменения формы и механических свойств тела в пластическом состоянии, теория пластичности открывает перспективы более полного использования ресурсов прочности тел при снижении их металлоемкости.
При проектировании различных машин довольно часто приходится рассматривать деформацию деталей за пределами упругости, что позволяет получить дополнительные резервы прочности. Так. в распространенном в машиностроении методе расчета по допускаемым напряжениям за предельное состояние конструкции принимают такое, при котором напряжение в наиболее нагруженной точке детали, изготовленной из пластичного материала, достигнет предела текучести последнего. Очевидно, что в случае неоднородного напряженного состояния возникновение пластических деформаций в одной, наиболее напряженной зоне, еще не означает предельного состояния всей конструкции, и она еще может сопротивляться увеличению внешних сил. Таким образом, расчет по допускаемым напряжениям позволяет решить далеко не все вопросы, которые могут встретиться на практике. С помощью этого расчета не удается установить величину действительного запаса прочности, а также составить представление о том, как будет работать конструкция, если действующая на нее нагрузка превысит расчетную, что приводит к неэкономичным решениям при проектировании.
Предельное состояние конструкции из пластического материала определяется перемещениями, при которых нарушаются условия нормальной эксплуатации, или нагрузками, при которых конструкция перестает сопротивляться внешнему воздействию.

Теоретические основы метода предельного состояния и условия его применимости к расчету статически определимым и статически неопределимым системам впервые изложены в монографии [7]. В работе приводятся методы расчета конструкций в упругопластической стадии.
Расчет по предельному состоянию в сравнении с расчетом по допускаемым напряжениям позволяет лучше учесть особенности материалов и условия эксплуатации конструкции, поскольку в его основу положены величины предельных нагрузок. Практическое использование метода предельного состояния к расчету конструкций изложено во многих работах отечественных и зарубежных авторов [7, 11, 26. 57].
Монография [34] знакомит с теорией расчета сооружений по методу предельного состояния на основе представления о конструкции как об идеальной упругопластической системе. Указана область применения теории расчета упругопластических систем без упрочнения. Приводятся приближенные методы учета влияния поперечной силы на несущую способность конструкции. Рассмотрена задача изгиба упругопластической балки из идеальнопластического материала на упругом основании. Расчет балки на упругом основании, изгибаемой сосредоточенной нагрузкой посредине пролета, также приведен в статье [20].
Учет упрочнения в упругопластических задачах позволяет лучше отразить действительный характер работы материала, что, в свою очередь, приводит к более достоверным решениям по сравнению с теми, которые получаются при использовании идеальной диаграммы растяжения. Однако построение решения даже при простейшем линейном законе упрочнения связано с более трудоемкими вычислениями, чем в случае идеального упругопластического материала.
Многие авторы, рассматривая упругопластический изгиб балок на основе более сложных зависимостей между напряжениями и деформациями, ограничиваются нахождением предельных моментов для случая чистого изгиба. В статье [8] рассмотрен чистый изгиб упругопластических балок с применением зависимости напряжений от деформаций в виде тригонометрического ряда (ряд Фурье). По мнению автора, данный способ дает возможность аналитической аппроксимации любой диаграммы работы, как бы сложна она ни была. Найдены предельные изгибающие моменты для брусьев прямоугольного и треугольного поперечных сечений, выполненных из сташ и дерева.

По результатам вычисления построены графики (рис. 1.7) изменения относительных прогибов (1.57) от относительной нагрузки (1.58) при различном упрочнении п (1; 0,75; 0,5; 0,25; 0). Анализ графиков показывает, что зависимость о*р2(хт) от Р является нелинейной [32], но при упрочнении п = 1 прогибы балки
изменяются пропорционально нагрузке [что может служить проверкой ( 1.57)].
Величина прогибов возрастает с увеличением силы и достигает наибольшего значения при выбранном упрочнении п = 0,25 (без учета идеальной пластичности) и заглублении = А/16 (в интервале от h/2 до h! 16). С ростом упрочнения материала неупругие деформации балки уменьшаются.
Найдем расположение упругой и пластических зон в продольном сечении балки. В статически определимых балках изгибающий момент является функцией от координаты х, поэтому расположение упругопластических зон в продольном сечении можно определить без рассмотрения форм изогнутых осей балок.
Границы между зонами в силовой плоскости их определяются соотношением (1.38). Подставляя в (1.38) уравнение (1.40), получим формулу
/(1-й) 2/(1-лЫ пЫ
х =
2а ЪИ а 6уТа
устанавливающую связь между заглублением пластической деформации ут и абсциссой х. Задавая в (1.59) ут, определим расположение пластических зон, имеющих параболический вид (с учетом симметрии в продольном и поперечном направлениях), вдоль абсциссы X.
На рис. 1.8 представлены границы между зонами балки, наїруженной возрастающей силой (от Рт до 3,12Рт) при упрочнении п = 0,25 и п = 0. В случае изгиба идеальнопластической балки (для нагрузок 1,42/7 и 1,49/Л) границы зон локализованы на небольшой длине и обращены выпуклой стороной к ее крайним волокнам. Дальнейший рост нагрузки приведет к переходу всего опасного сечения в пластическое состояние и образованию «пластического шарнира».
Определим расположение «шарнира» и его длину для идеальнопластической балки. Подставляя в (1.42) и (1.59) коэффициент а = 1 [найден из (1.41) при заглублении у,п— 0 в точке х,„], текущее заглубление yT = h/2 в точке х0 и упрочнение п = 0, получим расположение «шарнира» от левой опоры х0 = Ч3 и его длину //3, что соответствует результатам, приведенным в работах [34, 40].