Асимптотические модели в нелинейной теории волн деформации

• Автор: Мягков, Николай Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 176 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Асимптотические модели нелинейных волн в упругопластических
средах
§1.1. Модели волн деформаций. Метод многомасштабной факторизации
§ 1.2. Уравнения движения, малые параметры, качественный анализ
распространения плоских волн при малых, но конечных деформациях
§ 1.3. Модели нестационарных нелинейных волн в упругопластических
средах. Метод фазовых функций
Глава 2. Плоские задачи распространения и взаимодействия нелинейных
волн в упругопластических средах
§ 2.1. Нормальный удар по границе изотропного полупространства
§ 2.2. Описание столкновения двух ступенькообразных ударных импульсов
методом фазовых функций
§ 2.3. Самовоздействие ударного импульса при выходе на свободную
поверхность
§ 2.4. Модельные уравнения, описывающие распространение нелинейных волн
малой амплитуды в среде с микропластичностью
§ 2.5. Динамическая локализация деформации в разупрочняющемся стержне
Глава 3. Двумерные задачи динамики упругопластических сред
§ 3.1. Двумерный ударный импульс в нелинейной максвелловской среде
§ 3.2. Повреждение плоской пластины при ударе цилиндрическим
ударником
§ 3.3. Задача о дополнительном энерговыделении при высокоскоростном
ударе

Глава 4. Оптимизация ударно - волнового нагружения конденсированных
сред
§ 4.1. Взаимодействие ударных импульсов в диссипативных конденсированных
средах
§ 4.2. Оптимальное профилирование ударных импульсов
Глава 5. Нелинейные волны в системах с колебательным характером
релаксации внутренних переменных
§5.1. Нелинейные волны в заполненных жидкостью упругих трубах
§ 5.2. Модели нелинейных волн в сплошных средах с колебательным
характером релаксации внутренних переменных
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Точные решения для практически интересных задач нелинейной механики, как известно, достаточно редки. Для отыскания решений применяются либо численные методы, либо приближенные методы, либо комбинация тех и других. Это в полной мере относится и к задачам распространения волн в твердых телах. Исторически, параллельно с исследованиями нелинейных волновых процессов развивались приближенные методы анализа уравнений в обыкновенных производных, затем в частных производных и интегро-дифференциальных уравнений [1-47]. Среди приближенных методов основными являются методы асимптотических разложений по малым параметрам [2, 8].
Существующие приближенные методы анализа нелинейных волновых процессов условно делят на две группы [14, 25, 28, 43]. К первой группе относят методы возмущений, в которых задача сводится к определению малых поправок к некоторому “невозмущенному” решению, задаваемому известным семейством функций. Применительно к механике твердого тела такие методы применялись, например, в работах [48-50]. Ко второй группе относят методы редукции (приведения) исходных уравнений к некоторым модельным нелинейным волновым уравнениям для новых переменных. Эти методы предполагают возможность введения в задачу одного или нескольких малых параметров, причем один из них учитывает малый нелинейный фактор, и используются, когда попытки описания решения с помощью малых добавок к невозмущенному решению оказываются некорректными в том смысле, что имеют очень малую область применимости (например, часто разложение теряет силу на расстояниях порядка длины волны). Здесь рассмотрен метод факторизации, основанный на асимптотическом методе многих масштабов [7, 8], разработанном, как известно, для расширения области применимости (пригодности) получаемых приближенных решений. Среди других методов редукции отметим метод связанных нормальных волн [15], активно разрабатываемый в последнее время применительно к задачам нелинейной волновой динамики в упругих системах с сильной дисперсией [39, 43].
В нелинейной теории волн метод многих масштабов используется для систематического сведения сложной исходной системы уравнений к одному нелинейному эволюционному уравнению, решение которого дает равномерно пригодное на некотором большом промежутке времени приближение к решению исходной системы [10, 11, 18, 23-25]. Этот метод редукции применялся во многих

малый параметр V для металлов является достаточно “большим”, член 3ууи (суммирования по индексам нет) в (1.20) будет мал по сравнению с основным членом разложения р'~ £ в рассматриваемой области напряжений (единицы-десятки ГПа).
Таким образом, напряжение, плотность и скорость (ц/ = ц;/С0) в направлении распространения волн: а'и, р', и{~ £ + 0{£2 +££+£рп+£у),
касательные напряжения сг~ - £У£д2 (/?£ у); и'т и е1т ~ ££у (т~ 2,3). Так же, как
и в акустике ограниченных звуковых пучков [22] полагаем, что вдоль характеристических направлений распространения решение изменяется медленнее, чем в поперечных направлениях: £д2 >(£,//„, V). В общем случае процедура вывода модельных уравнений (см. §1.3) накладывает ограничение: введенные малые параметры е, е&, рп, V являются величинами одного порядка.
Для вещества с нормальными термодинамическими свойствами
(сР/дУ2) >0 [52], где Р = -~ акк - давление V- 1 !р - удельный объем. Отсюда

следует, что а+2>0.
Параметр а в (1.20) может быть вычислен через адиабатическую производную от модуля объемного сжатия по давлению. Можно видеть, что
сс = (дК1 дР)3-. (1.21)
Из экспериментов обычно получают значение изотермической производной (дК! дР)? [134-136], поэтому для вычисления адиабатической производной необходимо воспользоваться соотношением (Ж / Ж)5
(дКIдР)Т + (дКIдТ)Р-(Т/31р0СР), где СР - теплоемкость при постоянном давлении, /-коэффициент объемного теплового расширения. Производные от объемного модуля, необходимые для вычисления параметра а, приведены в работах: алюминий 6061-Т6 [137]; вольфрам [105]; медь, нержавеющая сталь [135-136]; армко-железо, висмут, уран, бериллий, ванадий [66, 136].
Если уравнение состояния задано в виде Е = [Р-С(р-р0)]/ вычисления дают значение а = п-1. В диапазоне импульсных нагрузок умеренной интенсивности (десятки ГПа) уравнение состояния часто задается в виде /Э = С0 +т1] [51, 64, 71], где /7-скорость фронта ударной волны, /-массовая