Анизотропия и общие решения уравнений линейной теории упругости

• Автор: Остросаблин, Николай Ильич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 215 с. : ил.

Оглавление
Введение
§ 1. Основные уравнения линейной теории упругости
§ 2. Некоторые этапы развития теории упругости
§ 3. Краткий обзор работ по упругой анизотропии
§ 4. Краткий обзор работ по общим решениям в линейной
теории упругости
Глава 1. Обобщенный закон Гука для линейно упругих
анизотропных материалов
§ 5. О структуре тензоров модулей упругости и коэффициентов податливости
§ 6. Собственные упругие состояния
§ 7. О классификации анизотропных материалов
§ 8. Собственные модули упругости и состояния для материалов кристаллографических сингоний
§ 9.0 наитеснеийших границах констант упругости и приведении удельной энергии деформации к каноническому
виду
§ 10. Наитеснейшие границы изменения практических констант упругости анизотропных материалов
§ 11. Инварианты тензора четвертого ранга модулей упругости
§ 12. Представление тензора модулей упругости трансвер-
сально-изотропной упругой среды
§ 13. Об ортонормированном базисе из чистых сдвигов в
девиаторном подпространстве
§ 14. О матрице коэффициентов в уравнениях в смещениях
линейной теории упругости

Г лава 2. Общие решения уравнений линейной теории
упругости
§ 15. Общее представление решения уравнений линейной
теории упругости изотропного тела
§ 16. О некоторых решениях уравнений линейной теории
упругости
§ 17. Общие решения и приведение системы уравнений линейной теории упругости к диагональному виду
§ 18. Об уравнениях линейной теории упругости анизотропных материалов, сводящихся к трем независимым волновым уравнениям
§ 19. Операторы симметрии и общие решения уравнений
линейной теории упругости
§ 20. Замечания о подстановках Нейбера
§ 21. Общее представление решения уравнений в случае
несжимаемого изотропного материала
Г лава 3. Общая структура уравнений линейной теории
упругости
§ 22. Об условиях совместности малых деформаций и функциях
напряжений
§ 23. Функции напряжений и смещений для уравнений движения
сплошной среды
§ 24. Об уравнениях Бельтрами — Мичелла и операторе
Сен-Венана
Заключение
Список литературы
Введение
§ 1. Основные уравнения линейной теории упругости
Будем рассматривать все уравнения в декартовой прямоугольной системе координат х,хъ,х$. Нумерация формул принята двойная. Первое число означает номер параграфа, второе — номер формулы в этом параграфе.
Основные уравнения линейной теории упругости [1-4] состоят из уравнений движения
доц - рдцщ + Г; = 0, (1.1)
обобщенного закона Гука
(1.2)
и формул Коши, представляющих деформации через смещения
£и = {дкЩ + <9щ*)/2. (1.3)
В (1.1)—(1.3) обозначено: а у = а у — компоненты тензора напряжений;
— £}1 — компоненты тензора деформаций; Ацы — компоненты тензора модулей упругости; иг — компоненты вектора смещения; Г, — компоненты вектора объемных сил; р — постоянная плотность материала;
— производная по координате хj ; д4 — производная по времени = Г Повторяющиеся буквенные индексы означают суммирование.
В линейной теории упругости удельная энергия деформации для анизотропных материалов имеет вид [1, 2]
2Ф = Ацыееы- (1.4)
Постоянные Д-де обладают свойствами симметрии:
А гк1 = Аум — Ак1ц 1 (1.5)
это следует из симметрии тензора Ец и возможности переобозначить индексы суммирования в (1.4) [1, 5].
Подставляя (1.2), (1.3) в (1.1), получим уравнения движения в смещениях [1]
(Ацкщдн р8д/ф)и "Т Рг ~ 0, (1-6)
где [6, 7]
Ацы)} — (Д*у + Ацк])/2; (1.7)
5ц = 1 при г = 3, 8у = 0 при г ф Для изотропного материала модули
упругости Ацы следующие [1, 5, 8]
А%]к1 — р{8цк8}I + 8ц8)к)-1 (1 -8)

Из выписанных соотношений видно, что все материалы разбиваются на 32 класса (1+5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32) и каждому классу однозначно соответствует символ {ад, ак}, который характеризует структу-
ру материала. Причем порядок следования цифр в символе существен . При перестановке цифр в символе получаем материал другого класса, т. е. с другой внутренней структурой. В работах [15, 62] предложен символ < ад + с*2 + ... + ад >, ад < «2 < ... < а*, который назван первым структурным индексом материала. Но этот структурный индекс обладает тем недостатком, что качественно различные материалы объединяет в один класс. Например, материалы вида {1,5} и {5,1} будут иметь одинаковый первый структурный индекс < 1 + 5 >, хотя это качественно различные материалы, что будет показано ниже. Этот недостаток связан с тем, что первый структурный индекс [15, 62] упорядочивает материалы по величине кратностей собственных модулей, а не по величине самих собственных модулей, что на наш взгляд является более целесообразным, так как все материалы разбиваются на качественно различные классы материалов.
Более детальная классификация анизотропных материалов должна производиться в зависимости от вида собственных тензоров tip, или матрицы
Для материалов, например, с символами {6}, {1,5}, {5,1} модули упругости (7.3) в записи с четырьмя индексами принимают вид
Материал с модулями упругости (7.7) можно назвать изотропным, так как Афі не зависит от выбора ортогональной системы координат и определяются только одним собственным модулем упругости Аі, при этом
Ы (7-5).
Aijki — Ai Sijki]
Aijkl = (1 "Ь 2ijkli
A-ijkl = A iSijhl (A] — Ag)2f,j 12 Д(12,
(7.7)
(7.8)
(7.9)
где Sijki — (SikSji + SuSjk)/2, причем в силу (7.4)
tijlltijll = 1, = 1-
(7.10)