Исследование задач фильтрации с предельным градиентом и теории мягких оболочек и методов их решения

• Автор: Бадриев, Ильдар Бурханович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 260 с. : ил

Содержание
0.1 Введение
1 ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ С ПРЕДЕЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ
1.1 Постановка задач
1.2 Свойства оператора А
1.3 Разрешимость задачи фильтрации с разрывным законом и исследование свойств ее решений
1.4 Двойственная задача
2 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ ФИЛЬТРАЦИИ
2.1 Случай банахова пространства
2 2 Случай гильбертова пространства
2.3 Применение к задачам фильтрации
2.4 Итерационные методы, основанные на двойственности
2.5 Метод модифицированного лагранжиана

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ
3.1 Построение схем МКЭ
3.2 Исследование сходимости схем МКЭ
3.3 Итерационный процесс решения схем МКЭ
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ
4.1 Постановка задачи
4.2 Существование решения задачи
4.3 Итерационные методы решения задачи
4.4 Сеточные аппроксимации задачи
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ МЯГКИХ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ
5.1 Постановка задачи
5.2 Существование решений и их свойства
5.3 Построение и исследование итерационных методов
5.4 Построение и исследование схемы МКЭ
5.5 Численные эксперименты
ЛИТЕРАТУРА

0.1 Введение.

Математическое моделирование является одним из наиболее эффективных способов решения многочисленных задач, возникающих в различных практических областях - механике, физике, экономике, биологии, медицине и т.д. Многие такие задачи описываются уравнениями и неравенствами с частными производными. В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения. Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения необходимо использовать численные методы, основанные на конечномерных аппроксимациях изучаемых задач при помощи метода конечных элементов и метода конечных разностей. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для линейных уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например, в [49], [61], [75], [81], [83], [88], [109], [113], [115], [127] - [132], [135] - [137].
Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, к котороым относятся, в частности, нелинейная теория фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом (см., например, [47], [76], [86], [87], [122]). Другой такой областью является теория мягких оболочек. Возникающие здесь задачи находят широкое применение при проектировании различного рода конструкций, изготовленных из мягких тканевых или пленочных материалов (см., например, [74], [77], [107], [108], [116], [1.51]).

В четвертом параграфе для задач теории мягких сетчатых оболочек при помощи метода конечных элементов построены конечномерные аппроксимации задач. Исследована сходимость решений сеточных задач к решениям исходных задач. При дополнительной гладкости решения и правой части получены оценки точности.
В пятом параграфе излагаются результаты методических расчетов для модельных задач, проведенных с целью проверки работоспособности алгоритмов. Эти расчеты были проведены для обезразмеренной задачи об определении положения равновесия прямоугольной сетчатой мембраны, закрепленной по краям, нагруженной постоянной следящей нагрузкой и силой тяжести и ограниченной снизу плоским препятствием. В недеформированном состоянии оболочка представляет из себя находящийся на некотором расстоянии 8 = const над плоским препятствием прямоугольник. Нити, образующие оболочку, параллельны сторонам прямоугольника.
Физические соотношения для нитей принимались в виде (выбиралось р = 2):
Е = 0.08. Характерные параметры задачи взяты из работы [125]. При построении конечномерных аппроксимаций на области О, строилась равномерная по и а2 сетка, на основе которой проводилась триангуляция прямоугольными треугольниками со сторонами, параллельными сторонам О и гипотенузами, параллельными диагонали прямоугольника, выходящей из начала координат. Напомним, что в случае р = 2 пространство V является гильбертовым, каждый шаг итераци-