Минимальные вещественные и комплексные сплайны

• Автор: Бурова, Ирина Герасимовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 255 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Минимальные полиномиальные
интерполяционные сплайны
§1. Минимальные лагранжевы сплайны
1.1. Аппроксимационные соотношения
1.2. Элементарные минимальные сплайны
1.3. О понятии однородности сплайнов
1.4. Последовательная интерполяция минимальными сплайнами
§2. Минимальные эрмитовы сплайны
2.1. Аппроксимационные соотношения
2.2. О существовании минимальных эрмитовых сплайнов
2.3. Частные случаи минимальных эрмитовых сплайнов
2.4. Еще о свойствах минимальных эрмитовых сплайнов
§3. О построении гладких минимальных сплайнов
3.1. Первый вариант расположения носителя
3.2. Второй вариант расположения носителя
3.3. Свойства гладких минимаьных сплайнов
3.4. О онлайновых аппроксимациях без свойства точности на многочленах класса тгт
3.5. О совпадении базисных сплайнов
3.6. Левые и правые гладкие минимальные сплайны
§4. О модификации эрмитовых и лагранжевых
сплайновых аппроксимаций
4.1. Применение разностных отношений
при построении минимальных сплайнов
4.2. Другой вариант применения разностных отношений
4.3. Еще об использовании разностей
4.4. Аппроксимация четвертого порядка
4.5. Аппроксимация более высокого порядка
4.6. Некоторые частные случаи
4.7. О длине носителя и степени сплайна

§5. Граничные минимальные сплайны
5.1. Постановка задачи
5.2. Описание основных результатов
5.3. Об экстремальных значениях многочлена
§6. Оценка базисных функций на приведенной сетке
§7. Некоторые вспомогательные утверждения
§8. Оценка аппроксимации на общей локально
квазиравномерной сетке
§9. Оценка констант эквивалентности
9.1. О связи констант эквивалентности
и аппроксимации
9.2. Один вариант оценки константы аппроксимации
§10. Оценка погрешности некоторых квадратурных
формул
§11. О вычислении коэффициентов квадратурных
формул
§12. Согласованная квадратурная формула
на равномерной сетке
§13. О построении локально квазиравномерных сеток
13.1. Степенные сетки
13.2. Экспоненциальные сетки
§14. Усредняющие и сглаживающие сплайны
14.1 Усредняющие сплайны
14.1.1. Кусочно-линейные усредняющие сплайны .
14.1.2. Квадратичные усредняющие сплайны
14.2. Сглаживающие сплайны
14.2.1. Построение сглаживащих сплайнов
14.2.2. Примеры сглаживащих сплайнов
14.2.3. Оценки погрешности аппроксимации
14.2.4. Некоторые замечания
§15. О построении мультипликативных
координатных функций
Глава II. Тригонометрические минимальные сплайны
§1. О построении минимальных тригонометрических
сплайнов нулевой высоты
§2. Четные тригонометрические сплайны
§3. Нечетные тригонометрические сплайны
§4. Построение квадратурных формул
§5. Некоторые частные случаи -гранично-минимальных
тригонометрических базисных сплайнов
§6. Построение базиса тригонометрических
сплайнов ненулевой высоты
6.1. Оценка погрешности аппроксимации
6.2. Частные случаи тригонометрических сплайнов ненулевой высоты
6.3. О построении четных тригонометрических сплайнов ненулевой высоты
6.4. Частный случай
§7. О построении гладких минимальных
тригонометрических сплайнов
7.1. Вводные замечания
7.2. Вычисление полиномов Pk(t) • • •
7.3. О точности аппроксимации
7.4. Условия гладкости
§8. Об использовании сплайнов
при решении краевых задач
§9. Аппроксимация комплексными сплайнами
на окружности
9.1. Вывод достаточных условий аппроксимации
9.2. Построение интерполяционных сплайнов
9.3. Оценка погрешности аппроксимации
9.4. Построение системы гладких интерполяционных сплайнов
9.5. Базисные функции на прямой как предельный случай базисных функций на окружности
9.6. Аппроксимация периодических3 функций
Глава III. Аппроксимация комплексными сплайнами
§1. О построении комплексных сплайнов ненулевой
высоты на окружности
§2. Аналитические сплайны
§3. Аппроксимация гармоническими сплайнами
§4. Аппроксимация на радиально-кольцевой сетке
Литература
Приложение. Графики базисных функций. Результаты
счета
Построенные таким образом сплайны uij(x) имеют следующие свойства:
1) Uj(xj) = 1> и3{хк) = 0 при j ф к;
2) и — и — 0 для и = 1, х,..., хт;
3) SUpp Ulj — [xj—r—oi, Xj^-ri —a]>
4) uij € C(Rl).
3.1. Первый вариант расположения носителя
Предположим, что а — фиксированное целое число, принимающее одно из значений
а = —r + 1, — , Ti - 1, (3.1)
m = г + ri — 1 и supp u>j = [«j_r_a,«j+ri_a].
Система уравнений
fc+r-o
53 uÄx)xj ~ х"> л = 0,1,...,т,
j=k—гх + 1—а
при х 6 однозначно определяет минимальные интерполя-
ционные сплайны uij(x):
ТТ (£ X j I) г
_ _ х G [«fc—orjiTAs+l—<*),
j't) XJ xj'J
-ri+l k = j-r,...,j + r 1-1;
О, X $ [xj-r-a, Xjf^.ri_a].
(3.2)
Нетрудно видеть, что сплайны (3.2) являются лишь непрерывными функциями аргумента «^Рассмотрим базисный сплайн u>j{x); носитель которого шире на один сеточный интервал носителя сплайна Ulj(x), и предположим, ЧТО supp Ulj = [«j_r_a, «j+rj + l-Qt].
Теперь условия точности аппроксимации (1Л) на полиномах степени т принимают вид
к+г-а
53 vj(x)xj.= хи, л = 0,1 ,...,тп, (3.3)
j=k-ri-a
при X € [«fc, «fc+i).