Упорядоченные дифференциальные кольца

• Автор: Кульчиновский, Владислав Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 122 с.

Теория упорядоченных дифференциальных колец
новая алгебраическая теория, которая всесторонне рассматривает связь порядка и дифференцирования в кольце и на основе полученных результатов исследует свойства интегральных и дифференциальных операторов. Основной алгебраической структурой данной теории является упорядоченное дифференциальное кольцо -дифференциальное кольцо с линейным порядком, дифференцирование которого является монотонно возрастающей функцией на некоторой окрестности нуля (в интервальной топологии). В работе рассмотрена арифметика данной алгебраической структуры и показано, что в рамках данной арифметики может быть обобщена теория асимптотического разложения функций действительного переменного. [Исследованы топологические свойства, в частности, вопрос о пополнении упорядоченного дифференциального поля, а также показано, как принцип сжимающих отображений может быть обобщен в данной теории. Доказаны многие теоремы об алгебраическом и трансцендентном расширениях. В заключение строится анализ над упорядоченным дифференциальным полем, результаты которого важны для исследования локальных свойств интегральных и дифференциальных операторов. Также показано, как в рамках приведенной теории можно формализовать локальные свойства функциональных зависимостей физических величин.
Условные обозначения
/: О —> С-функция из О в С, притом сЬт(/) = й,
/: (О) О- функция из О в О, притом с1от(/) с О, где с!от(/) - область определения функции/ гае(ф) - область значений функции
Я -множество действительных чисел,
N -множество натуральных чисел,
2 - множество целых чисел,
Ьт(х) = Д<Ч)(ОД), 1(0)(х) = х, А+В=х+ухе А 8с у е. в,
V = х € 4* > о},
Ь' = {* е ф < о},
Ь = е Цх Ф о},
|х| = шах{х, - х}, ск = с1{х).

Оглавление
Аннотация
Условные обозначения
Оглавление
Предисловие
Глава 1 Порядок и дифференцирование
§1.1 Упорядоченные кольца
§1.2 Критерии упорядочения О -колец
§1.3 Дифференцирование в упорядоченном кольце
Глава 2 Структура
§2.1 Упорядоченные дифференциальные кольца
§2.2 Критерии упорядочения дифференциальных колец
§2.3 Конструкции полей дифференциальных чисел
Глава 3 Арифметика
§3.1 Дифференциальные неравенства
§3.2 Асимптотика
§3.3 Элементарные функции
Глава 4 Алгебра
§4.1 Теоремы об автоморфизмах и пополнении и факторизации
§4.2 Алгебраические расширения
§4.3 Трансцендентные расширения
Глава 5 Анализ
§5.1 Замечательные пределы
§5.2 Дифференциальное исчисление
Заключение
Литература

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная работа ставит перед собой три цели: исследовать связь между порядком и дифференцированием в кольце, формализовать понятие асимптотической близости функции с построением алгебраического аппарата для исследования асимптотических свойств решений интегральных и дифференциальных уравнений и, наконец, сделать первый шаг в направлении алгебраической формализации локальных свойств функциональных зависимостей физических величин.
Аналогом производной математического анализа в алгебре является понятие дифференцирования. Такие свойства производной, как аддитивность и правило взятия производной произведения, могут быть абстрагированы на случай произвольного множества, на котором определены операции сложения и умножения (кольца).
Дифференцированием кольца О называется аддитивное отображение д: О -> (} кольца С в себя, удовлетворяющее соотношению: с!(ху) = (ду)х + удх,
для любых элементов х.уеК.
Теория дифференциальных колец, то есть колец с некоторой областью дифференцирований, зародилась в 30-е годы XX века в работах американского математика Ритта Ж. Ф. и его ученика Колчина Е. Р. [1-9]. Позже данная теория была изложена в монографии И. Капланского [10]. Понятие дифференцирования оказалось во многом полезным для теории алгебраических расширений полей и тел, поиска решений дифференциальных уравнений в квадратурах, теории формальных рядов и т.д. Кроме этого, исследование дифференциальных колец позволило глубже понять, какие привычные для нас свойства производной имеют алгебраическую природу, а какие обусловлены определением ее как некоторого предела функции.
С другой стороны, в двадцатом веке началось систематическое построение теории упорядоченных алгебраических структур. Существенный вклад в ее развитие внесли такие математики, как Р. Дедекинд, О. Гельдер, Д. Гильберт, Дж. Нейман, Г. Биркгоф, А. И. Мальцев, Ф. Холл. Фундаментальное значение порядка для математики заключается, в частности, в том, что, согласно теореме Гельдера, вещественные числа можно определить как максимальную архимедову группу.
Что хорошего в том, что в данном кольце мы определили некоторое нетривиальное дифференцирование или линейный порядок? Дифференцирование выделяет в кольце определенную структуру, разделяет его на множества, которые, в свою очередь, могут обладать определенной алгебраической замкнутостью. Например, если с/ является дифференцированием кольца, то ядра кегя?“’ являются аддитивными группами, множество идеалов кольца можно различать по дифференциальным свойствам их элементов (дифференциальные идеалы), многие

Глава 2. Структура
случае существовал бы элемент аеб, такой, что d(x) = ах - ха и, следовательно, a g kerd. Так как в каноническом упорядоченном дифференциальном кольце G имеет место равенство © = О - G, то оно является согласованным упорядоченным дифференциальным кольцом. В силу свойств строго монотонных функций, если упорядоченное кольцо G с дифференцированиями dud' является каноническим упорядоченным дифференциальным кольцом, то и G с дифференцированием ô(x) = ad{x) + bd'(x), где a,b е G+, является каноническим упорядоченным дифференциальным кольцом.
Утверждение
Каноническое упорядоченное дифференциальное кольцо G с дифференцированием d тогда и только тогда может быть погружено в качестве дифференциального идеала О d-малых элементов согласованного упорядоченного дифференциального кольца G' с единицей, когда выполнено условие (Vjхух,у sG+ =>ху< min{x,y}).
Доказательство:
Данное утверждение является незначительной модификацией аналогичной теоремы о вложимости упорядоченного кольца в кольцо с единицей [14].
Докажем необходимость.
Если в согласованном упорядоченном дифференциальном кольце G' с единицей множество О d-малых элементов является дифференциальным идеалом данного кольца G', то О является упорядоченным кольцом с дифференцированием d, при этом в силу того, что (Vjc)(x е Ô* => х < 1), имеет место неравенство (Vxy)(x,y е Ô+ => ху < min{x,y}). Кроме того, так как G ' является согласованным упорядоченным дифференциальным кольцом, согласно закону монотонности, О является каноническим упорядоченным дифференциальным кольцом.
Покажем достаточность.
Рассмотрим множество G' всех пар (п,а), где n<=Z, aeG, причем, равенство и сложение определены покомпонентно, а умножение задается равенством (п, а) (т, b) = {пт, ma + nb + аЬ). Мы будем полагать, что {п, а) > 0, если п> 0 или если п = 0 и д > 0. Непосредственно проверяется, что G' упорядочено порядком > и в данном кольце в качестве целых чисел выступают элементы вида (я,0), где neZ. Кольцо G' содержит G в качестве выпуклого идеала. Условие (Vxy)(x,y <=G+ =>ху< minfoy}) гарантирует, что если (п,а),(0,Ь)>0, то (и, а) (О, b) = (0, nb + аЬ), (О, Ъ) {п, а) = (0, nb+Ьа) также положительны.
Дифференцирование d продолжается с G на G’ следующим однозначным образом: d{n,a) = (0,da). Остается лишь заметить, что О = {(0,х) е G'x е G}. Доказательство окончено.
Определение
Упорядоченное дифференциальное кольцо G называется простым, если оно не содержит отличных от {0} и G выпуклых дифференциальных идеалов. Утверждение