К теории полудистрибутивных решеток

• Автор: Семенова, Марина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 67 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Решетки подпорядков и ограниченные снизу решетки
1. Свойства, близкие к ограниченности снизу
2. Ограниченные снизу решетки подпорядков
3. Теорема о вложении в решетки подпорядков
4. Решетки подпорядков, представимые в виде решеток квазимногообразий
Глава 2. Разложения в решетках
1. Существование разложений
2. Несократимые разложения со свойством замены
3. Минимальные разложения
4. Единственные несократимые разложения
Литература

Введение
Решетка I. называется полудистрибутивной вверх, если для любых элементов х,у,г € Ь
х V у — х V г влечет х'бу — XV (у/ г).
Двойственным образом определяются полудистрибутивные вниз решетки. Теория полудистрибутивных решеток наряду с теорией модулярных решеток занимает особое положение в общей теории решеток. Понятие полудистрибутивной (вверх) рештеки, как и понятие модулярной решетки, является одним из важных обобщений понятия дистрибутивной решетки. Причем свойства полудистрибутивных вверх решеток во многом противоположны свойствам модулярных решеток.
Определение полудистрибутивной решетки впервые появилось в работе Б. Ионссона [31] о подрешетках свободной решетки. Полудистрибутивные вверх решетки естественным образом возникают при изучении многих вопросов, как сформулированных в рамках теории решеток, так имеющих значение и для универсальной алгебры в целом, что отражено в монографии В. А. Горбунова [6]. Полудистрибутивные вверх решетки уже сыграли ведущую роль при изучении свободных решеток (см. монографию Р. Фриза, Я. Ежека и Дж. Б. Нейшна [29]), решеток подквазимногообразий квазимногообразий алгебраических систем [6], разложений в решетках и независимой аксиоматизируемости [5, 35]. Заметное место занимают полудистрибутивные вверх решетки и в теории многообразий решеток [30], теории ручных конгруэнций [9].
Следует упомянуть еще об одном естественном комбинаторном приложении теории полудистрибутивных вверх решеток, которое наиболее отчетливо высвечивает как тесную связь упомянутого классса решеток с классом модулярных решеток, так и некоторую оппозиционность этих двух классов по отношению друг к другу. Известно (см. книгу Г. Гретцера [8]), что любую

модулярную решетку с дополнениями можно вложить в модулярную геометрическую решетку. С другой стороны, класс модулярных геометрических решеток совпадает с классом так называемых проективных геометрий. Таким образом, любая модулярная решетка с дополнениями вложима в решетку замкнутых подмножеств некоторого пространства замыкания со свойством замены Штейница-Маклейна (или комбинаторной геометрии). Следует также отметить, что в решетке замкнутых подмножеств произвольной проективной геометрии несократимые разложения обладают свойством замены. Антиподами комбинаторных геометрий являются выпуклые геометрии (то есть пространства замыкания со свойством антизамены). Причем, согласно теореме Р. П. Дилуорса [35], решетка замкнутых подмножеств любой конечной выпуклой геометрии полудистрибутивна вверх.
Для комбинаторных геометрий к настоящему времени была построена глубокая структурная теория, развитие которой было инициировано работами Г. Биркгофа [16], О. Фринка [26], Р. П. Дилуорса и М. Холла [25]. Однако изучение выпуклых геометрий ограничивалось лишь конечным случаем (см. [33] и обзорную работу [35]). Определение бесконечной выпуклой геометрии было дано в работе К. В. Адаричевой, В. А. Горбунова и В. И. Туманова [14]. Там же были получены первые фундаментальные результаты о таких геометриях.
Одним из основных характеристческих свойств конечной выпуклой геометрии является существование ровно одного несократимого разложения для каждого элемента решетки ее замкнутых подмножеств. Проблема описания решеток, обладающих этим свойством была сформулирована в 40-х годах Р. П. Ди-луорсом. Тогда же он показал [23], что конечная решетка обладает указанным свойством тогда и только тогда, когда она полудистрибутивна вверх и полу-модулярна вниз. Полудистрибутивные вверх решетки оказались также полезными и при описании решеток с каноническими разложениями, которое было получено В. А. Горбуновым [5]. Отметим также связь теории разложений с вопросами базируемости для классов алгебраических систем. К примеру, во-

(1) 0(Х,Я) еО;
(2) (Л', К) — конечное или счетное множество, имеющее высоту не более чем 2 и не содержащее ч. у. подмножеств вида 22, и Р(2 (см. рис. 3).
Доказательство. Пусть 0(Х,И.) € О. Поскольку любая решетка квазимногообразий является биатомной, согласно лемме 1.4.1, высота (X, Д) не превосходит двух. Если (Х,Я) содержит Ч. у. подмножество, изоморфное Рх, то О(Рх) € О. Поэтому на О(Рх) можно определить оператор эквазамыкания й. Согласно лемме 1.4.2, {(а,й)} V {(Ь, щ)} < й({(а, щ)}), i = 0,1. Отсюда получаем, что
Ц{{а,Со) , (Ь,сх)}) = й({(а,сх) , (*>,<%)})
откуда, в силу (ЙЗ), Рх = й({(а,с0) , (й,сх)} П {(а,сх) , (6,с0)}) = й(0) = 0, что невозможно. Случай, когда Р содержит частично упорядоченное подмножество, изоморфное Рх®, рассматривается аналогично.
Предположим, что 22 вложимо в (Х,Я), тогда 0(22) € О, и на 0(22) существует оператор эквазамыкания й.
Рис. 3. Ч. у. множества Р, Р?
Согласно лемме 1.4.2, й({(0,1)}) = 22. Положим а -= {(0,ао)}, Ъ = {(а0,1)}, с = {(0,1)}, д = {(0,ах)}. Если <1 й(а), то, в силу (й5), й(а) = /г.(6 V (!) — 22, откуда, используя (ЙЗ), получаем 22 = й((Ь V (Г) А с) — й(0) = 0. Поэтому