Холловы подгруппы неразрешимых конечных групп

• Автор: Ревин, Данила Олегович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление
Введение
1 Холловы подгруппы некоторых конечных простых групп
§1.1. Основные обозначения
§1.2. Предварительные результаты главы
§1.3. Общая теорема о холловых тг-подгруппах групп Шевалле, характеристика которых
принадлежит ж
§1.4. Холловы 7г-подгруппы групп Шевалле, содержащиеся в подгруппе Бореля, в случае, когда характеристика, 2 и
принадлежат ж
§1.5. Параболические холловы подгруппы
групп Шевалле с системой корней типа В/,
Си Еъ Е8, Д, С?2,2Аи 3П4, 2Е6, 2Е4,202,
О; (I четно) И 2Д (I нечетно)
§1.6. Параболические холловы подгруппы групп Шевалле с системой корней типа Д,
I нечетно
§1.7. Параболические холловы подгруппы групп
Шевалле с системой корней типа Ев
§1.8. Параболические холловы подгруппы групп Шевалле с системой корней
типа 2 Б и I четно
§1.9. Параболические холловы подгруппы
групп Шевалле с системой корней типа А[.
Общие замечания
§1.10. Параболические холловы подгруппы
групп Шевалле нечетной характеристики
с системой корней типа Л;
§1.11. Параболические холловы подгруппы
групп Шевалле с системой корней типа Л;
над полем ОБ(22<)
§1.12. Параболические холловы подгруппы
групп Шевалле с системой корней типа Л;
над полем СБ(224-1)
§1.13. Холловы 7г-подгруппы конечных групп Шевалле, характеристика которых
принадлежит ж

§1.14. Холловы подгруппы спорадических групп
2 Общие теоремы о свойстве Д
§2.1. Сведение к простым группам
§2.2. Д-теорема для конечных групп, композиционные факторы которых обладают абелевыми силовскими
2-подгруппами
3 Свойство Д в одном классе конечных групп
§3.1. Предварительные результаты главы
§3.2. Случай 1: группы Шевалле,
характеристика которых принадлежит п
§3.3. Случай 2: знакопеременные
и спорадические группы
§3.4. Основные результаты главы
Список литературы

Введение
Попытки различных обобщений классической теоремы Силова уже давно сформировались в теории конечных групп в самостоятельное направление. Естественным обобщением понятия силовской р-подгруппы явилось понятие холловой я-подгруппы. Если я — некоторое множество простых чисел, то 7г-подгруппа Н конечной группы б называется холловой я-подгруппой, если [И : Н не делится на числа из я. Ф.Холл ввел в рассмотрение свойства £3, Сп и Б„ конечных групп. Если конечная группа О обладает холловой 7г-подгруппой, то говорят, что она обладает свойством Еп. Если при этом все холловы подгруппы группы <3 сопряжены, то говорят, что С обладает свойством С*. Если к тому же любая я-подгруппа группы О содержится в некоторой холловой я-подгруппе, то говорят, что О обладает свойством Тф. Группу со свойством Еж, С„ или Дг называют соответственно Е„~, Сп- или Бп-группой. Свойство О
Изучению холловых свойств Етг, С„ и Д посвящена обширная литература. О классе всех Д-групп известно, что он замкнут относительно гомоморфных образов и нормальных подгрупп, но не замкнут относительно расширений. О классе всех Д-групп известно, что он замкнут относительно гомоморфных образов и расширений, но не замкнут относительно нормальных подгрупп. О классе всех Д-групп известно лишь, что он замкнут относительно гомоморфных образов.
Поскольку для того, чтобы конечная группа обладала свойством Д, необходимо чтобы все ее композиционные факторы обладали свойством Д, традиционно важное место в изучении холловых л-свойств конечных групп занимает проблема описания холловых подгрупп в группах, близких к простым. Еще до появления классификации конечных простых групп Ф.Холл [1] и Дж.Томпсон [2] описали холловы подгруппы симметрических групп, были опубликованы работы Э.Шпитцнагеля [3] и М.Куни [4], посвященные описанию холловых подгрупп в классических линейных группах. С появлением классификации ценность подобных результатов многократно возросла. Ф.Гроссу принадлежат следующие результаты. Описаны холловы я-подгруппы конечных групп Шевалле, характеристика которых принадлежит 7г, а числа 2 или 3 не принадлежат я (см. [5], теорема 3.2, [6] теорема 3.1). Описаны холловы я-подгруппы классических групп в случае, когда 2 и характеристика не принадлежат я (см. [7]). Описаны холловы я-подгруппы групп СД(рт) и ЗгДр™) в случае, когда 2б7г,аЗ,р7г (см. [6]). Описаны холловы я-подгруппы в спорадических группах, если 2 я (см. [5], 6.13). Проблема описания холловых я-подгрупп в группах Шевалле отмечена в обзоре А.С.Кондратьева (см. [8], стр. 89).
В первой главе диссертации завершено описание холловых я-подгрупп в группах Шевалле, характеристика которых принадлежит я, и в спорадических группах, а именно, доказаны следующие две теоремы.
(1.13.1) Теорема. Пусть (3 — группа Шевалле над полем характеристики р. Пусть подгруппа А группы (3 такова, что 2, 3, р делят |А|. Подгруппа А является холловой в (3, тогда и только тогда, когда верно одно из следующих утверждений:
(1) А = в, в ф 2В2(224+1);
(2) (3 изоморфна одной из групп Ь2(22г), 84(22‘), Пз(22‘), и4(22*), и5(221), 8и5(22*),

+qai + qai+1 + . + даі+Ь-1 = даі +q+... + qb~ 1) (mod r).
Это число не делится на г в силу минимальности г.
Допустим, верно (2). Тогда
|Л| = g21(q - 1 ) V - l)2(q3 - l)2(g4 - 1), G : Л| = /5(q)/6(q)/r(q),

/s( /б(?)= 1-9+?2,
/7(g) - 1 + g + g2 + g3 + q4 + q5 + q6.
Кроме того, G : A = 1 (mod p), G : Л| = 1 (mod 2). Допустим, r — простое
число, делящее A и |G : A. Тогда г ф 2,р (здесь р — характеристика поля GF(g)).
Далее, г делит одно из чисел fi(q) = g-1, f2(q) = g+1, /з(д) = g2 + g+l, /4(д) = g2 + l. Допустим, г делит q — 1. Тогда, поскольку г / 5,7 и
/5(д) = 5 (mod г),
/6(д) = 1 (mod г),
/7(д) = 7 (mod г),
число г не делит |G : А.
Допустим, г делит q + 1-. Тогда, поскольку г ф
Mq) = 1 (mod г),
/6(д) = 3 (mod г),
/7(д) = 1 (mod г),
число г не делит G : А.
Допустим, г делит q2 + q + 1. Тогда
/s(g) = q2(g2 + q+l)+q2 + g+l -q2 /б(д) = g2 + q +
/7(4)= g4(g2 + g+l) + g(g2 + g + i) + l
и г не делит |G : Д|.
Допустим, наконец, что г делит g2 + 1. Тогда
/5(д) ее 1 (mod г)
/е(д) = -д (mod г)
/7(9) = 9 (mod г)
и г снова не делит |G : А|.
Таким образом, Л действительно является холловой подгруппой группы G. Теорема доказана.
= —g2 (mod т), = —2д (mod г),
= 1 (mod г),