Многомерные интегрируемые операторы Шредингера

• Автор: Фейгин, Михаил Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с.

Оглавление
Введение
1. Рациональные потенциалы
1.1. Рациональная функция Бейкера-Ахиезера связанная с
конфигурацией гиперплоскостей
1.2. Монодромия и функции Бейкера-Ахиезера
1.3. Существование функции Бейкера-Ахиезера и локусные
уравнения
1.4. Анализ локусных уравнений и конфигураций. Системы
Кокстера
1.5. Локусные конфигурации на плоскости
1.6. Локусные конфигурации в многомерии
2. Тригонометрические потенциалы
2.1. Общие конструкции
2.2. Примеры конфигураций и соответствующих фзнкций Бейкера-Ахиезера
2.2.1. Системы корней
2.2.2. Система Л„д(ггг)
2.2.3. Система Сп(1, т)
2.2.4. Система АП)2{т)
2.3. Обоснование аксиоматики функций Бейкера-Ахиезера
2.4. Ограничения на возможные конфигурации

3. Интегрируемые операторы в пространствах с метрикой
3.1. Сингулярности потенциалов, допускающих сплетающее соотношение
3.2. Сплетающее соотношение на сфере и в пространстве
3.3. Сферические части обобщенных потенциалов Калодже-ро-Мозера
3.3.1. Группа диэдра 7дг
3.3.2. Система Ап
3.3.3. Система Ип
3.3.4. Система Вп
3.3.5. Произвольная группа Кокстера
Список литературы

Введение
Открытие интегрируемости уравнения Кортевега-де Фриза в 70-е годы привело к бурному исследованию соответствующих операторов Шредингера, оказавшихся интересными с разнообразных точек зрения.
После решения обратной задачи рассеяния в классе быстроубыва-ющих функций и обнаружения представления Лакса для КдФ последовала знаменательная работа С.П. Новикова [1], посвященная периодическому случаю. Было показано, что периодические неособые решения стационарных уравнений КдФ обладают замечательным спектральным свойством — спектры соответствующих операторов содержат конечное число лакун. Обратное утверждение было доказано Б.А. Дубровиным [2] и Г. Фляшкой [3]: конечнозонность спектра для
Ь = —<72 -I- и(х)
влечет существование коммутирующего оператора А нечетного порядка
[Ь,Л} = 0. (1)
А.Р. Итс и В.Б. Матвеев открыли явную формулу, выражающую потенциал и через гиперэллиптические 0-функции [4]. И.М. Кричевер предложил красивую конструкцию получения конечнозонных потенциалов с помощью функций Бейкера-Ахиезера римановых поверхностей (см. [5]). Стартуя с уравнения коммутативности (1), риманова поверхность определяется уравнением Щи, у) = 0. где многочлен 72 таков, что ЩЬ, А) = 0. Функция Бейкера-Ахиезера ф является общей собственной функцией операторов Ь и А, гр определена на так называемой спектральной кривой Щи, и) = 0.

с кратностями (1, 1,1).
Доказательство. Пусть А обозначает произвольную локусную конфигурацию трех прямых. Рассмотрим первый случаи, когда А содержит по крайней мере два вектора кратности больше, чем 1. Тогда теорема 1.10 утверждает, что А должна быть кокстеровской системой А%. Теперь предположим, что существует единственный вектор 7 = (0,1) с кратностью т > 1. В этом случае теорема 1.10 утверждает, что другие два вектора должны быть симметричны относительно вектора 7, таким образом мы можем зафиксировать нормировку а = (1, А), /З = (1, —А). Локусные уравнения (1.22) для а принимают вид:
2(1 + А2)(1 - А2) т(т + 1)А
——7 тг 1
(.х - АуУ у6
Из этого немедленно следует, что А может принимать лишь следующие значения: А = її-~/2т+і’ ~ и легко проверить, что А эквива-
лентна системе Л-2 {т), то есть реализуется второй пример из списка. Последний случай, который нам следует рассмотреть, это случай, когда все три вектора а = (1,а),/3 = (1,6),7 = (0,1) имеют кратность 1. Локусные уравнения (1-22) для вектора 7 принимают вид
2а(а2 + 1) 2Ь(Ь2 + 1)
1 гГ + 7 ГАГ = 0 если У
(х + ау)6 (х + Ьу)а

(а + 6) (о2 + Ь2 — аЬ + 1) = 0.
Локусные уравнения (1.22), соответствующие а и /?, могут быть переписаны как
Г (1 + а2)(1 + аЬ) + Ъ(а — 6)3 = 0,
| (1 + 62)(1 + аЪ) + а(Ъ — а)3 = 0.
В случае а + 6 = 0 эта система уравнений выполняется тогда и только тогда, когда а4 = 1/9, что означает, что А либо кокстеровская система Ао либо система ДІ2(—2). В случае а2 + 62 — аЬ + 1 = 0 написанная выше система выполняется автоматически без дополнительных ограничений. Таким образом, теорема доказана.