+
Действующая цена700 499 руб.
Товаров:
На сумму:

Электронная библиотека диссертаций

Доставка любой диссертации в формате PDF и WORD за 499 руб. на e-mail - 20 мин. 800 000 наименований диссертаций и авторефератов. Все авторефераты диссертаций - БЕСПЛАТНО

Расширенный поиск

Устойчивость свойств гильбертовости и бесселевости некоторых систем функций при малых возмущениях параметров

  • Автор:

    Ассонова, Надежда Владимировна

  • Шифр специальности:

    01.01.02

  • Научная степень:

    Кандидатская

  • Год защиты:

    1999

  • Место защиты:

    Смоленск

  • Количество страниц:

    110 с.

  • Стоимость:

    700 р.

    499 руб.

до окончания действия скидки
00
00
00
00
+
Наш сайт выгодно отличается тем что при покупке, кроме PDF версии Вы в подарок получаете работу преобразованную в WORD - документ и это предоставляет качественно другие возможности при работе с документом
Страницы оглавления работы

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ГИЛЬБЕРТОВОСТЬ И ВЕССЕЛЕВОСТЬ СИСТЕМ
СИНУСОВ, КОСИНУСОВ И ЭКСПОНЕНТ
§1. Формулировка результатов
§2. Доказательство теорем 1.1.
§3. Иллюстрация результатов и их сравнение с выводами
Пэли - Н. Винера и М. И. Кадеца
Глава 2. ГИЛЬБЕРТОВОСТЬ И ВЕССЕЛЕВОСТЬ СИСТЕМ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРОВ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§1. Гильбертовость и бесселевость систем собственных
функций операторов второго порядка
§2. Гильбертовость и бесселевость систем корневых
функций операторов второго порядка,
§3. Примеры
Глава 3. АНАЛОГИ ФОРМУЛ СРЕДНЕГО ДЛЯ ФУНКЦИЙ ьп
§1. Основные понятия и результаты
§2. Доказательство теоремы
§3. Доказательство теорем 3.1.
Глава 4. ГИЛЬБЕРТОВОСТЬ И БЕССЕЛЕВОСТЬ СИСТЕМ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРОВ
ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
§1. Формулировка результатов
§2. Вспомогательные утверждения для случая /2П < р0
§3. Вспомогательные утверждения для случая р„ > р0
§4. Доказательство основных результатов
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
При решении многих задач математической физики, например, при решении краевых задач для уравнений в частных производных методом разделения переменных, возникает необходимость в изучении свойств спектрального разложения произвольной функции из того или иного класса по системе корневых (то есть собственных и присоединённых) функций (кратко: к. ф.) некоторого дифференциального оператора (кратко: д. о.). Исследования в этом актуальном направлении современной математической науки являются предметом соответствующего её раздела, называемого спектральным анализом д
Вопросы, изучаемые в данной диссертации, связаны с проблемой базисности в том или ином классе функций систем к.ф. обыкновенного д. о.. Решение этой проблемы играет фундаментальную роль в построении спектральной теории несамосопряжённых д, о
В случае формально сопряжённого д. о. и самосопряжённых краевых условий указанная проблема, в основном, решена. Согласно теореме Дж. фон Неймана [44], система собственных функций формально самосопряженного д. о. с произвольными самосопряжёнными краевыми условиями, обеспечивающими точечный спектр, образует ортонор-мированный базис в пространстве Ь2. Отметим, что в этой ситуации понятие д. о., как и понятие его собственной функции, неразрывно связано с краевыми условиями, что соответствует классической теории линейных д. о. [43].
Исследование спектральных свойств несамосопряжённых д. о, существенно сложнее. Пусть Е — заданный на произвольном интервале С? действительной прямой формальный, вообще говоря, несамосопряжённый обыкновенный дифференциальный оператор
Ей = и+ Р1(+р2{х)и{к~2; + ... + рн(х)и. (1)
Система его собственных функций, вообще говоря, не полна в пространстве Ь2 (то есть произвольную функцию из класса Ь2 не всегда можно приблизить с любой степенью точности в метрике Ь2 линейной комбинацией собственных функций). Поэтому систему собственных функций пополняют присоединёнными. Большой вклад в спектральную теорию по вопросу о полноте внёс М. В. Келдыш [24]. Для широкого класса несамосопряжённых задач он построил систему к.ф., которую назвал канонической, являющуюся полной в пространстве Ь2. Однако, система к. ф. несамосопряжённого д. о. не является, вообще говоря, ортогональной в Ь2, вследствие чего даже при своей

полноте и минимальности в классе Ь2 (минимальной в пространстве И<2 называется система, ни один элемент которой не входит в замыкание линейной оболочки других её элементов), она может не образовывать базис в этом пространстве.
Успехи на пути выяснения условий базисности для систем к. ф. несамосопряжённых д. о. в терминах краевых условий были достигнуты В. П. Михайловым [40], Г. М. Кессельманом [27], Н. Данфордом и Дж. Т. Шварцем [13], А. А. Шпаликовым [51], [52].
Так, в работах [40], [27], [13] доказана базисность Рисса к. ф. обыкновенного д. о. п— го порядка с регулярными по Биркгофу [43, с.66-67] краевыми условиями при дополнительном требовании их усиленной регулярности, а в [51] при условии обычной регулярности - базисность Рисса со скобками. В [52] был выделен класс регулярных интегральных краевых условий, включающий в себя регулярные условия в смысле Биркгофа. Была доказана базисность Рисса со скобками к. ф. обыкновенных д. о. при таких условиях, а при дополнительном предположении их усиленной регулярности - обычная базисность Рисса.
Отметим, что при усиленно регулярных краевых условиях все собственные значения д. о., начиная с некоторого, простые. Найти какие-либо другие краевые условия, обеспечивающие базисность систем к. ф. несамосопряжённых д. о., так и не удалось.
В последние десятилетия возник целый ряд задач, не охватываемых описанной теорией. К ним относятся такие задачи неклассической физики, как отыскание условий устойчивости плазмы, расчёт ядерных реакторов. Такого рода несамосопряжённые задачи приводят к бесконечному множеству кратных собственных значений и бесконечному множеству присоединённых функций.
Примером такой задачи является рассмотренная Н. И. Ионки-ным [20] неклассическая задача распространения тепла в однородном стержне. Методом разделения переменных она сводится к краевой задаче — (р(х)и'У + q{x)u = А и, а < х < Ь; и(а) = 0 ,и'(а) = и'{Ь), краевые условия которой являются регулярными, но не усиленно регулярными. Все собственные значения этой задачи, начиная со второго, двукратны, а общее число присоединенных функций бесконечно. Тем не менее в работе было установлено, что специальным образом выбранная система корневых функций образует базис в Ь2(а;Ь). Так, для задачи А. А. Самарского-Н. И. Ионкина, у!' + и — 0, 0 < х < 1,
гг(0) = 0, г/(0) = Д;(1),

3 а м е ч а н и е 2.2.3. Пусть А— константа из антиаприорной оценки (2.2.4), С— константа из карлемановского условия (2.1.5). Тогда, согласно [5], константа С в оценке (2.2.3) может быть определена из соотношений
Цп.рЦоо 5: С'цЦДярЦ, ЦКц.рЦоо 5
С12\ипЛ, р > О, п€К,

>2 (1 + + 1 СЧС)
11 !-¥(! + ИЬ)
54х/2(1 + = С12(цп) =
2 .Рп Ае2С
) 27|цп (1 + 1 | АуД мм)
4(27- 21к!|1 )'
27 — 2|]д|
Выражение Сц удобнее использовать для достаточно больших значений рп, а С2~ для малых.
Отметим, что оценка (2.2.3) для операторов второго порядка получена в работах В. В. Тихомирова [47], И. С. Ломова [35], И. Йо [21], причём в последней работе выписывается явный вид для константы С. Но формулы В. Д. Будаева для нахождения С дают более точную константу. В. Коморником [28] оценка (2.2.3) получена и для случая операторов высокого порядка.
Рассмотрим вспомогательные результаты.
Л е м м а 2.2.1. Для присоединённых функций йпр оператора (2.1.1) справедливы представления: для рп ф О
йп,Р(х) = ип,р(0) со&рпх + Ш1/лпх - ( й-й*) Апрп(1 - х) Д,
дп Рп о
(2.2.5)

для рп = 0 йщр{х) = ищр(0) + хи'п р(0) -1 1 () (ф - х) Д. (2.2.5а)

Замечание. При р = 0 интегралы в правых частях равенств
(2.2.5) и (2.2.5а) отсутствуют и данные формулы дают представление (2.1.4) для собственных функций й„)0.
Доказательство. Проверим, во-первых, выполнение условий (2.2.2) для функции ищр, задаваемой соотношениями (2.2.5) и (2.2.5а). Действительно, и из (2.2.5), и из (2.2.5а)

Рекомендуемые диссертации данного раздела

Название работыАвторДата защиты
Линейные системы уравнений с кратными старшими частными производными Миронова, Любовь Борисовна 2005
Смешанные задачи с интегральными условиями для волнового уравнения Бейлин, Сергей Александрович 2005
Задачи усреднения в частично перфорированных областях Шапошникова, Татьяна Ардолионовна 1999
Время генерации: 0.105, запросов: 967