О разрешимости краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными граничными условиями

• Автор: Моисеев, Тихон Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 160 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Нелокальные краевые задачи
1.1. О теоремах единственности решений нелокальных краевых задач для уравнения Лаврентъева-Бицадзе
1.2. Решение нелокальной краевой задачи для уравнения Пуассона
со смешанными краевыми условиями с помощью функции Грина
Глава 2. Краевые задачи с наклонной производной
2.1. О решении уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями
2.2. Об одном варианте задачи с наклонной производной
2.3. Разрешимость краевых задач с наклонной производной
Глава 3. Задачи со смешанными краевыми условиями
3.1. О единственности решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа
3.2. О разрешимости задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными краевыми условиями
3.3. Формула среднего значения для гармонической функции в круговом секторе
3.4. Об условной разрешимости задачи Трикоми со смешанными краевыми условиями
Глава 4. Интегральные представления
4.1. Об интегральном представлении решения уравнения Лапласа
со смешанными краевыми условиями

4.2. Эффективное интегральное представление одной краевой задачи со смешанными краевыми условиями
4.3. О разрешимости задачи Трикоми с обобщенным условием склеивания Франкля
4.4. О неединственности решения задачи Трикоми с обобщенным условием склеивания Франкля
Глава 5. Разрешимость задачи Геллерстедта для уравнения Лав-рентьева-Бицадзе с неклассическими условиями склеивания градиента (по Франклю) на линии изменения типа уравнения
5.1. Задача Геллерстедта с неклассическими условиями склеивания градиента решения на линии изменения типа с данными на внешних характеристиках
5.2. Задача Геллерстедта с неклассическими условиями склеивания градиента решения на линии изменения типа с данными на внутренних характеристиках
Литература

Введение
Актуальность работы. Работа посвящена изучению разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа. Одним из первых, кто поставил и решил корректную задачу для уравнений смешанного типа был Трикоми [42], чье имя и название получило уравнение
д2и д2и
Уд + д~ ' (
Задача Трикоми — найти регулярное решение уравнения (1), когда задаются условия первого рода на границе области эллиптичности и на одной из характеристик уравнения (1). При определенных требованиях па градиент решения уравнения на линии изменения типа, Трикоми удалось решить эту задачу. Метод решения этого уравнения — это сведение уравнения (1) к сингулярному интегральному уравнению с последующей его регуляризацией. Этот метод остается и сейчас одним из основных при решении уравнений смешанного типа. Трикоми также сформулировал еще одну задачу для уравнения (1), когда носителем данных является не вся характеристика, а только ее часть. Соответствующая задача получила название “задача с отходом от характеристики”. Эта задача существенно трудней, чем просто задача Трикоми.
Геллерстедт [45] в докторской диссертации (1935 г.) поставил новые задачи для уравнения Трикоми, которые называются теперь задачами Геллер-стедта.
Отметим еще работу С. А. Чаплыгина “О газовых струях”, написанную им в 1909 г., но получившую признание после 1945 г. [43].
Новым толчком к изучению задач смешанного типа и уравнений, вырождающихся на границе области послужила статья М. В. Келдыша [11], опубликованная в 1951 г., в которой он показал, что задача Дирихле для вы-

Рассмотрим сначала случай во + в = 0.
Для случая 0О < 0 и 01 > 0 решение задачи (69)-(72) выписывается в виде интеграла типа Коши
и(г)

/(агё£)
1 - £
Пользуясь тождеством

1 + £
(1 + г)(1-£) (1 -г)(1 + £)
£ — г 1 — £г

(И. (75)
и подставляя его в формулу (75), получим формулу
и(г)

/(ащЬ)
1 — 2 * ( 1 + я-
1 - £
1 + £

£ — г 1 — £г
£Й. (76)
Формула (76) дает решение задачи (69)-(72) в случае 0о + в = 0. При во = —7г/4 и в = 7г/4 получаем из формулы (75) формулу, которую установил А. В. Бицадзе

/(а1£)
1 - гг2
1 -£2

£ — г 1 — £г
с££.
Теорема 0.22. [4-4] В случае во + 01 — 0 решение краевой задачи (69)-(72) выписывается в виде интеграла типа Коши по формулам (75) или (76) и решение в этом случае единственно.
Пусть теперь 0о + 01 < 0, тогда при условии, что 0о < 0 и 01 > 0, было получено следующее интегральное представление решения краевой за-