Нелокальные исследования бифуркаций для семейств нелинейных эллиптических уравнений

• Автор: Ильясов, Явдат Шавкатович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 272 с.

Содержание
Введение -
Глава 1. Теорема о существовании семейства периодических основных состояний для полулинейных эллиптических уравнений
1. Предварительные сведения -
2. Тождество Похожаева -
3. Вариационная постановка для краевой задачи (0.1) — (0.4) -
4. Теорема о существовании решения краевой задачи (0.1)-(0.4) -
5. Дополнение -
Глава 2. Исследование бифуркаций семейства периодических основных состояний полулинейных эллиптических уравнений
2. Определения, некоторые вспомогательные сведения
3. Доказательство теоремы о существовании ветви основных состояний
4. Глобальные свойства ветви основных состояний
5. О бифуркации стационарного основного состояния йг
6. О поведение ветви основных состояний при I —> оо
Глава 3. Процедура проективного расслоения функционалов
1. Некоторые определения и результаты из теории дифференцируемых многообразий

2. Процедура (7-процесса для бесконечномерных банаховых пространств
3. Проективное расслоение функционалов над банаховом пространством
4. Процедура проективного расслоения для чётных функционалов
5. Основные состояния -
6. Некоторые общие замечания о процедуре проективного расслоение
Глава 4. Исследование бифуркаций эллиптических уравнений с индефинитными нелинейностями
1. Проективное расслоение для функционала (0.1) -
2. Исследование характеристических условий
3. О необходимых условиях существования знакопостоянных критических точек
4. Существование основных состояний функционала (0.1)
5. Ветви основных состояний -
6. Исследования поведения ветвей основных состояний в особых точках -
Глава 5. О существовании положительных решений для одного класса краевых задач с критическими показателями нелинейностей
1. Определения и обозначения -
2. Вариационная постановка -
3. Исследование ограничений 0/( -
4. Теорема о существовании положительных решений -
Список литературы

Введение.
В диссертации изучаются однопараметрические семейства нелинейных эллиптических краевых задач. Главной целью является исследование проблем разрешимости краевых задач в зависимости от значений учитываемого параметра и анализ регулярности рассматриваемых семейств в целом. Исследования поставленных проблем основываются на развиваемой в диссертации теории нелокального анализа бифуркаций.
Последние несколько десятилетий начиная с работ Бергера М.С. [10], Браудера Ф.Е. [12], Вишика М.И.[11], Похожаева
С.И. [9] явились для теории нелинейных эллиптических краевых задач периодом наиболее интенсивного развития. За этот период получены существенные результаты, как в решении конкретных проблем, так и в развитии теории нелинейных эллиптических краевых задач в целом (см. обзоры [13], [14], [15], [16], [17] и библиографии в них). Характерным для этого периода является то, что здесь исключительно большое внимание уделялось исследованию проблем разрешимости. При этом главным образом данные исследования были направлены на изучение индивидуальных объектов.
Изучение семейств, как параметризованных объектов в целом, представляется важным с многих точек зрения. В частности это является особенно важным при обосновании корректности математических моделей, при разрешение вопроса о возможной применимости модели к реальной действительности.

Лемма 1.13 Подмножества Е7, ф — 1, 2 являются С1 гаод-многообразиями в Гі локально диффеоморфными проективному пространству Р(уб).
На заключительном этане процедуры проективного расслоения ставятся следующие две минимизационные задачи с ограничениями
Р = іпф{ї{и)и Є Е7}, ф — 1, 2. (1.39)
где Е"*, ф — 1,2 замыкания в Гі множеств Е7, ф = 1,2. Здесь по определению
р = +оо, если Е-7 = 0, ф — 1, 2. (1-40)
Определение 1.14 Пусть |Р| < оо . Точку и>0 Є Т) доставляющую минимум в (1.39): Р — 1(и>0) будем называть решением (1.39).
Основным результатом в обоснование процедуры проективного расслоения является
Теорема 1.15 Пусть точка ш0 решение (1.39) при ф = 1 (ф = 2), при этом ш0 Є Е1 (ша Є Е2). Тогда рг(и0) Є ¥ 0 является критической точкой функционала 1{и).
Подчеркнем, что введённая процедура проективного расслоения является методом построения кратных (двух разных) критических точек (ветвей) функционала I. Отметим в связи с этим работы [91], [93], [18], [55], [56], [59], где исследуются проблема существования кратных решений для конкретных (функционалов) нелинейных уравнений в частных производных.
Отметим, что метод расслоения предложенный Похожае-вым в [95], [94], [93] для построения критических точек функционалов основывается на использовании тривиального рас-