Линейные краевые задачи для нелокальных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений параболического типа с дробными производными в младших членах

• Автор: Бечилова, Аминат Расуловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 88 с.

Содержание.

Введение
Глава I. Обыкновенные дифференциальные уравнения
с дробной производной в младших членах
§1. Элементы дробного исчисления
§2. Некоторые особенности при постановке краевых условий для
дифференциальных уравнений с дробной производной
§3. Дискретные аналоги дробной производной и принципа
экстремума для оператора дробного дифференцирования
§4. Построение разностных схем для обыкновенных
дифференциальных уравнений с дробной производной
§5. Принцип максимума для уравнения с разностной дробной
производной в младших членах
§6. Оценка решения разностной задачи в равномерной метрике
§7- Метод итерации для решения сеточных уравнений
§8. Другие краевые задачи для дифференциального уравнения с
дробной производной в младших членах
Глава II. Краевые задачи для параболических уравнений с дробной по пространственной переменной производной в младших членах
§1. Априорная оценка для решения первой краевой задачи
§2. Метод Ротз
§3. Разностные схемы для первой краевой задачи

Глава III. Дифференциальные уравнения в частных производных
с дробной по времени производной
§1. Построение разностных схем первой начально-краевой задачи
для обобщенного уравнения переноса
§2. Устойчивость и сходимость в равномерной метрике
§3. Монотонные схемы для уравнения общего вида с дробной по
времени производной
§4. Третья краевая задача для уравнения диффузии дробного
порядка. Априорная оценка
§5- Разностные схемы для третьей краевой задачи уравнения диффузии
дробного порядка
§6- Устойчивость и сходимость
§7. Построение разностных схем повышенного порядка точности третьей краевой задачи для уравнения диффузии дробного
порядка
§8. Алгоритм решения задачи
§9. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности с дробной
производной в граничных условиях
§10. Дискретный аналог нелокальной задачи с дробной производной
в граничных условиях
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Решение многих задач теории уравнений смешанного типа, механики сплошных сред и изучение процессов стохастического переноса приводят к дифференциальным уравнениям с дробной производной (Нахушев А.М., Керефов A.A., Бэгли P.JL, Нигматуллин P.P., Чукбар К.В.).
В связи с этим возникает необходимость исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными и разработка методов их решений.
Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН по направлению "Исследование структурных и качественных свойств решений локальных и нелокальных краевых задач для широких классов уравнений и систем основных типов и их приложения". (№ ГР 01.950004494 код 1.1.11. (1.1.11.1,1.1.11.3)).
Целью работы является исследование линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений параболического типа с дробной производной в младших членах и разработка численно-аналитических методов их решения.
Основными методами исследования являются: метод априорных оценок в сочетании с принципом экстремума для оператора дробного дифференцирования; метод функции Грина; метод построения устойчивых разностных схем.
В диссертационной работе рассматриваются новые по постановке задачи. Научную новизну представляют следующие результаты:

Дифференциальной задаче (8.1)-(8.2) ставим в соответствие разностную задачу

1кУ, - (<Ух)х -Та](х)Аа0іхУ-

- ат+1 (*)у = — ф(дсг), х=хіу і= 1,2
І!° = 0’ -и _ 8*8)
[ N3х,Х ~ Р.У М-1 »
а1=к1-1/21 ф(Л,) = /(ДС/).
Все изложенное в §4- §7 без существенных изменений переносится и на разностную задачу (8.7)-(8.8), то есть решение разностной задачи (8.7)-(8.8) сходится к решению дифференциальной задачи (8.1)-(8.2) при к->0 со скоростью 0(к).