Бесселевость и гильбертовость систем корневых функций квадратичных пучков дифференциальных операторов

• Автор: Конашенко, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Смоленск
• Количество страниц: 99 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. О бесселевости и гильбертовости
некоторых систем функций функций
§1. Критерий бесселевости систем вида
(exp(iA„t) sin junt} и {exp(iA„t) cos /n„t}
и их линейных комбинаций стр. 22
§2. Неравенства Гильберта и Бесселя для систем вида (exp(jA„t) sin fint} и {exp(iA„i) cos
Метод возмущений
ГЛАВА 2. Формулы среднего значения и некоторые оценки корневых функций квадратичного пучка
дифференциальных операторов
§1. Формулы среднего значения для собственной функции
и для первой присоединенной
§2. Формула среднего значения для к
присоединенной функции
§3. Двусторонняя формула среднего значения
§4. Оценка модуля собственной функции и ее производной
§5. Оценка модуля произвольной присоединенной функции
и ее производной
§6. Антиаприорная оценка
ГЛАВА 3. О бесселевости и гильбертовости
систем корневых функций квадратичного
пучка дифференциальных операторов

§1. Необходимые условия бесселевости
§2. Достаточные условия бесселевости
§3. О гильбертовости системы корневых функций
§4. Примеры
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ.
В последние десятилетия возник целый ряд новых, неклассических задач математической физики, приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных операторов. Примером такой задачи может служить известная задача Бицадзе - Самарского [5,20] с нелокальными краевыми условиями для уравнения теплопроводности.
Исследования по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов берут свое начало еще с классических работ Ж.Лиувилля, Ш.Штурма, а также более поздних работ Я.Д.Тамаркина [44], Дж.Биркгофа [4], В.А.Стеклова [43] и других авторов, в которых изучались вопросы асимптотики собственных значений и сходимости спектральных разложений для различных классов краевых задач.
На сегодняшний день в работах М.В.Келдыша [22] и многих его последователей достаточно хорошо изучена полнота систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов в пространстве 1/2 Для обширных классов краевых задач. Кроме того, довольно глубоко исследована асимптотика собственных значений и корневых функций.
После этих работ на первый план выдвинулась проблема базиснос-ти систем корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов. На пути изучения этой проблемы Г.М.Кесельману [26] и В.П.Михайлову [38] удалось выделить класс краевых условий (усиленно регулярные, по терминологии Дж.Биркгофа), обеспечивающих базисность Рисса в Ь2 систем корневых функций операторов произвольного порядка п. При этом существенным требованием яв-

§2. Неравенства Гильберта и Бесселя для систем вида
(exp(iA„i) sin pnt} и {exp(int)cospnt}.
Метод возмущений.
Определение 1.2.1. Будем называть систему элементов гильбертова пространства Н гильбертовой в Н, если За > 0, такая, что для V/ е Н выполнено неравенство

Е1(/,«»)12>«11/112- (1-2.1)

В настоящей работе предлагается подход к изучению гильбер-товости и бесселевости, аналогичный рассмотренному в статье В.Д.Будаева [11], а именно, предполагая, что некоторая система функций гильбертова и бесселева с константами пи/) соответственно, рассмотреть вопрос о том, будет ли возмущенная система также гильбертовой и бесселевой, и изучить допустимые границы возмущения
и значения констант в неравенствах Гильберта и Бесселя для возму-
щенной системы.
Рассмотрим в Li(0,1) системы функций
{«я} = {exp(int) sinpnt}, (1-2.2)
{vn} = {exp(int) cos pnt}, (1.2.3)
где {A„}, {pn} ~ некоторые последовательности комплексных чисел. Заметим, что бесселевость нормированных систем {urt||un||-1} и {пяЦппЦ-1} была рассмотрена нами в предыдущем параграфе (см. теорема 1.1.1 и замечание 1.1.4). (Здесь и далее в этом параграфе норма и скалярное произведение понимается в L(0,1)).