Асимптотики по времени и по гладкости решений линеаризованных задач гидродинамики

• Автор: Глушко, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 300 с.

Диссертационная работа посвящена изучению качественных свойств решений ряда начальных и начально-краевых задач описывающих малые колебания жидкостей. Под качественными свойствами решений понимаются точные асимптотические представления решений при /-»со, изучение гладкости решений, а также, в некоторых случаях, изучению динамики разрывов решений, порожденных негладкими начальными условиями. Основными моделями, подлежащими изучению, являются линейные системы сравнений, описывающие стабилизацию вязких жидкостей. Рассматриваются сжимаемые вращающиеся жидкости, а также экспоненциально стратифицированные жидкости. Первыми и фундаментальными работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы С.Л. Соболева [1],[2] уравнения движения вращающейся жидкости отличаются от известных уравнений Навье-Стокса наличием слагаемого [и,со], равного векторному произведению вектора скорости й на вектор угловой скорости вращения со и учитывающего эффект вращения системы координат (см. [3]). Учет этого слагаемого оказывается особенно важным, когда движение носит глобальный характер, как это имеет место, например, в динамике атмосферы и океана.
В работах С.Л. Соболева исследовалось движение идеальной (невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. Наибольший интерес при качественном исследовании системы С.Л. Соболева представляет вопрос об асимптотическом поведении при /-»оо этого решения. В работах P.A. Александрина [4] Т.П. Зеленяка [5], В.II. Масленниковой [6], В.Н. Масленниковой и М.Е. Боговского [7],[8], В.П. Маслова [9], В.Г. Лежнева [10] исследовалась асимптотика при / —> да решений различных задач для уравнения Соболева
л 2 -i2
° * 2 д п
—-Д и + со —-м = 0. которое при определенных условиях эквивалентно
dt2 8х
системе Соболева, как в ограниченных, так и в неограниченных областях. Наряду с идеальной жидкостью В.Н. Масленникова с учениками рассматривали
вязкие жидкости [11]-[13], а также сжимаемые жидкости с нулевой вязкостью [14].
Подробное освещение результатов по математической теории вращающейся жидкости можно найти в обзорных статьях [ 1 5]-[ 17].
Наряду с асимптотическими оценками при t —> со решений задач для линеаризованных систем уравнений движения вращающейся жидкости в работах С.В. Успенского и Г В. Демиденко устанавливались оценки норм решений в различных пространствах С.Л. Соболева. Рассматривались различные краевые задачи для уравнения Соболева, уравнения внутренних волн, уравнения гравитационно-гироскопических волн, уравнения волн Россби, уравнения Буссинеска и др. Авторы объединяют подобные задачи в класс так называемых уравнений Соболевского типа, или уравнений, не разрешенных относительно старших производных. Изучаются асимптотические свойства при / —> оо решений краевых задач в цилиндрических областях. Исследование основано на предложенном С.В. Успенским методе, основанном на доказательстве теорем вложений для функциональных пространств Соболева-Винера. Изучение краевых задач основано на построении последовательностей приближенных решений с последующей их оценкой в !.р- нормах. Подробная
библиог рафия и изложение результатов содержится в монографии [18].
В настоящее время в связи с проблемами океанологии, физики атмосферы, а также проблемами охраны окружающей среды, возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Особенно активно изучались качественные свойства решений задач
д2 , п л <Э2
для уравнения внутренних волн —-ÎSu + N А г/ = 0. (Д = —-+... +
дГ chef дх2
д2 д2
А' = —Г- + ... + —-—) (см. [19]-[22]). Из большого числа работ, посвященных

изучению начальных и начально-краевых задач для уравнения внутренних волн, укажем здесь работы М.И. Вишика [23], С.А. Гальперна [24]. М.И.

Лайтхилла [25], P.E. Шовальтера [26], Т.И. Зеленяка и В.П. Михайлова [27], Г.В. Демиденко [28], С.В. Успенского и Г.В. Демиденко [29], [30]. Большое количество результатов по теории невязкой стратифицированной жидкости содержится в работах С.А. Габова, А.Г. Свешникова. Результаты исследований обобщены в монографиях [31],[32].
Дальнейшим развитием уравнения внутренних волн является
учитывающее вязкость среды уравнение —( vAW +N 2äV = 0,
dt dt
относительно функции тока у/ ( v - коэффициент вязкости), эквивалентное в некотором смысле системе уравнений, рассмотренной в 4 и 5 главах диссертации. Задача Коши для уравнения такого вида исследовалась в работах С.А. Габова и Г.О. Малышевой [33], С.А. Габова, Г.О. Малышевой, А.Г. Свешникова [34]. Особый интерес при этом представляют задачи с разрывными начальными условиями, что объясняется традиционным интересом теории стратифицированных жидкостей к явлению растекания однородного пятна одной жидкости в другой (коллапс пятна интрузии). Задача представляет математический интерес, поскольку в этом случае, вообще говоря, отсутствует классическое решение.
Методика изучения стабилизации решений краевых задач для параболических уравнений, развитая в работах В.П. Михайлова, А.К. Гущина, Ф.Х. Мукминова [35]-[37], была применена Ф.Х. Мукминовым в работе [38] для изучения свойств решения первой смешанной задачи для системы нестационарных уравнений Навье-Стокса (без учета вращения среды). В этой работе получена равномерная оценка убывания решения со скоростью /~’'4. Доказательство основано на оценке типа оценки Нэша ([39]) для решения задачи. В своей работе Ф.Х. Мукминов указывает, что система уравнений динамики вращающейся жидкости сильно отличается от изученной им. Оценки убывания решения задачи динамики невращающейся вязкой жидкости изучались также В. А. Солонниковым ]40]. Отметим результаты по

~о _ c2N2is ~о _ gc2s2 + с1 N2(is) + g1 is ~o
£>22- , &23 - ’ 32
ОТ 2 ЯГіГ2 Г1Г2

£0 = ZiL ~c 8k0,(s) = О при (A:./)(2.2),(2.3),(3.2),(3.3); (39)
Х1Г2
4i =MaO; 12 = Нт‘ +с2ро_1(«)ЖО;4 =с2/>о*(г(0;
8г = Ow'2 + N2p0g~l -АЖаО; 822 = + vs2KsJ) + c2U2g~(s,t)
823 = (c2s2 + c2N2g~lis + gisisj); £3', = p0(g -c2is)h(s,t);
4, =c2Aj(s,0 + vc2s2h(S,t) + c2N%(s,t);
8'3 =(-c2hl(s,t)~vc2s2h(s,t)-(g2 +c2N2 -c2gis)/(j,f); (40)
A(*,/) = ОДехрЦу, (O0 - exp[72(.v)/])(/i (.v) - у2 (.v)) 1;
/г, (j,/) = 0(/ )(r, (.v)exp[y, (л-> ] - exp[y2 (j)/]X/i 00 - Г2 (5)Г‘ і
/г0(5,0 = 6,(0(гГ1()ехр[7і(5>]-г2'1()ехр[?'2(5>]ХГі(5)-Г2(5)Г1; (41)
Yj(s)- корни характеристического многочлена P(y,s)
Гу. (,у) = -и?2 / 2 + (1/2)(- 1)'V + 45 V - 4ЛГ2 - 4£ V2, у = 1,2; (42)
0(0 - функция Хэвисайда.
Будем в дальнейшем обозначать
4 (АО = Р$~Л8и (АО], £*/(*,0 = £ы00 + 4/ (АО, к,1 = 1Д Через II / II
обозначим норму функции /(х) в пространстве 12(/0 и через ||/||от- норму
вида || f\m=\ (1 + л'2Г/2Аг[/(х)]Ц в пространстве Соболева Нт(Р). Справедлива следующая
Теорема 6.1. При любой у0(х)е Ь2(Я) свертки £кІ(х,і)*У0(х) для (к,1) = (1.2), (1.3), (2.1), (3.1) существуют, непрерывны и равномерно
ограничены в /?х[0;со), причем